Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2.8. Центрифуга и фотон Ю1 I
изменению / при переходе от основания вектора V к его острию. Значит, d/ перед тем, как его пересекает V (в результате чего получается число), характеризует изменение / в направлении, которое не задано. Пересечение if вектором V являет^ ся действием, конкретизирующим направление, в котором требуется найти изме-г нение. Единственный недостаток определения из учебника состоит в том, что под d/ подразумевается скаляр, или число; ясно осознав, что для того, чтобы свести d/ к числу (d/, V), необходимо задать направление V, мы приходим к выводу, что в действительности d/ является 1-формой, градиентом /.
§ 2.8. ЦЕНТРИФУГА И ФОТОН
Векторы, метрика, 1-формы, функции, градиенты, производные по направлениям— все эти геометрические объекты и многие другие используются в плоском пространстве-времени для представления физических величин; все законы физики должны выражаться с помощью таких геометрических объектов.
В качестве примера рассмотрим эксперимент, в котором с высокой точностью измеряется красное смещение с использованием эффекта Мёссбауэра (фиг. 2.9). Излучатель и приемник фотонов установлены на ободе центрифуги в точках, отстоящих друг от друга на угол а, измеренный в инерциальной лаборатории. Излучатель и приемник по лабораторным измерениям находятся на радиусе г, а центрифуга вращается с угловой скоростью а>. Задача: Как по данным ю, г и а найти красное смещение
Z = (^принимаемое — ^излученное) Аизлученное,
которое получится из измерений?
Геометрические объекты в действии: пример
о центрифугой и фотоном
ФИГ. 2.9
Центрифуга и фотон.
102 2. Основи специальной теории относительности
Решение: Пусть Ue—4-скорость излучателя в момент излучения данного фотона, Ua—4-скорость приемника в момент поглощения этого фотона, р — 4-импульс фотона. Все три величины являются векторами, определенными без обращения к координатам. Никакого отношения к координатам не имеют и энергии фотона Ee и Ea, измеренные излучателем и приемником. Для описания того факта, что данный излучатель, излучая данный фотон, сообщает ему энергию Ee, координаты также не нужны, как не нужны они и для того, чтобы написать геометрическое сооотношение для Ee:
Ее=—рие. (2.29)
[В том, что эта формула верна, можно убедиться, вспомнив, что в системе покоя излучателя u? = 1, а и| = 0; тогда
Ee= -PaUf= —Po= +P0
в соответствии с отождествлением (временная компонента 4-импульса) = (энергия).) Аналогично (2.29) чисто геометрическим является и выражение
Ea = -P-Ua
для поглощаемой энергии.
Отношение принимаемой длины волны к излучаемой длине
волны обратно отношению энергий (так как E = hv = hc/K):
К = Ee —pue
Xe. Ea -P-Ua *
Это отношение легче всего вычислить в инерциальной лабораторной системе отсчета
Xg рОи%—рЫ3е _ pOifg—P-Ue (2 30)
К pOuO—piuj р°и%— P -Ua •
(Здесь и ниже для трехмерных векторов в данной лоренцевой системе используются полужирные латинские буквы, а при выкладках с ними употребляются обычные обозначения и формализм векторного анализа в трехмерном эвклидовом пространстве.) Поскольку величина обычной скорости обода центрифуги v = tor не изменяется во времени, Ue и и% равны друг другу, и величины (но не направления) Ue и Ua совпадают:
u" = Iia = (1 — 1>2)-1/г, I Ue I = I Ua I = v/(l — 1>2)1/а.
Из геометрии эксперимента (фиг. 2.9) видно, что Ue составляет с р тот же угол, что и иа. Следовательно, р-ие = р-иа, и
^•принимаемоеМ'нзлупенное = I * Л J)dCHOe Смещение ОТҐІСуПЬСПЬвуеПЬІ
Отметим, что при решении совершенно не использовались преобразования Лоренца — о них еще и речи не было в этой книге! Достоинства геометрической точки зрения, не использующей координат, налицо!
§ 2.8. Центрифуга и фотон ЮЗ
I
Чтобы пользоваться геометрической точкой зрения, необходимы многочисленные точки соприкосновения с экспериментом на языке, свободном от координат. Одной из таких точек соприкосновения является выражение E = —р*и для энергии фотона с 4-импульсом р, измеренной наблюдателем с 4-скоростью и. Убедитесь в наличии и других точек соприкосновения, указанных ниже.
2.5. Энергия и скорость как функции 4-импульса
Наблюдатель, имеющий 4-скорость и, изучает частицу с4-импуль-сом р и массой покоя т. Покажите, что наряду с
а) измеренным им значением энергии
E= — P’U, (2.31)
<5) он приписывает частице массу покоя
т2= — р2, (2.32)
в) импульс, который он измеряет, равен
Ы = I(P-Uj2-MP-P)]17*, (2.33)
г) обычная скорость, которую он измеряет, имеет величину
M=-Lfj- (2.34)
(| р I и E определяются из формул, приведенных выше), а
д) 4-вектор V, компоненты которого в лоренцевой системе наблюдателя имеют вид
V0 = 0, V3 = (dx}/dt)n„a частицы = обычпая скорость, задается выражением
V=JLtlLHUL. (2.35)
2.6. Градиент температуры
Каждому событию й внутри Солнца приписывается температура T ((S) — температура горячего газа, измеренная покоящимся относительно него термометром. T ((?) является функцией; чтобы ее определить и ввести в рассмотрение, координаты не нужны. Космический луч из внешнего пространства пролетает сквозь Солнце с 4-скоростью и. Покажите, что производная от температуры по времени, измеренному по часам этого луча, в его окрестности дается выражением
