Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
7-01457
Определение оператора производной по направлению
Базисные
1-формы
I
98 2. Основи специальной теории относительности
Разложение 1-формы по базису
Вычисление компонент вектора и 1-формы и обращение с ними
t
ФИГ. 2.8.
Базисные векторы и 1-формы некоторой конкретной лоренцевой системы координат. Базисные 1-формы расположены так, что (<й“, вр> = 6“р.
выступают координатные поверхности ха = const (фиг. 2.8). Следовательно, базисный вектор ва пересекает ровно одну поверхность базисной 1-формы со®, тогда как остальные три вектора параллельны поверхностям ©“ и не пересекают ни одной из них:
<©«, еэ> = 8°У (2.19)
(Говорят, что совокупности базисных 1-форм {©“} и базисных векторов {вр}, обладающие этим свойством, «дуальны» друг другу.)
Точно так же, как произвольный вектор можно разложить по базису ва, V = VaBa, произвольную 1-форму можно разложить по ©р:
a = Op©P. (2.20)
Коэффициенты разложения oR называются «компонентами а в базисе ©Р».
Эти определения приводят к изящному вычислительному формализму: вычислим с помощью уравнений (2.19) и (2.20), сколько поверхностей о пересекает базисный вектор еа:
(<*, ва) = <аР©Р, ва> = OTp <©Р, ва) = 0р8Ра,
Iji g'
{в, ва) = Оа» (2.21а)
Аналогичная процедура для произвольного вектора v = epi;P позволяет найти <©“, V):
<©“, v> = i/*. (2.216)
§ 2.7. Координатное представление геометрических объектов 99
Умножая уравнение (2.21а) на Vа и суммируя либо умножая (2.216) на оа и суммируя, получаем в обоих случаях один и тот же результат
(а, у) = OaVa. (2.22)
Это выражение позволяет, используя компоненты, вычислить (а, у), не зависящее от системы координат.
В каждой лоренцевой системе любой геометрический объект или соотношение имеет свое представление, зависящее от системы координат: вектор v представлен своими компонентами Vа, 1-форма a — своими компонентами Oa, точка Si — своими координатами ха, соотношение (а, v) = 17,3 представлено в виде OaVa — = 17,3.
Чтобы найти координатное представление оператора производной по направлению д,, перепишем уравнение (2.166) и произведем элементарные выкладки
( dk )#>0— ( d% ) в J60 ВДОЛЬ J0(X)-J00 = ^v ( дха ) ’
Vat см. уравнение (2.3) в результате получаем
3, = vad/dxa.
(2.23)
В частности, производная вдоль базисного вектора еа (компоненты [еа]р = («Р, еа) = 8ра) имеет вид
да = д,а = д/дха, (2.24)
Это должно быть ясно также из фиг. 2.8.
Компоненты 1-формы градиента d/, обозначаемые />а,
d / = /,„©“ (2.25а)
легко вычислить, используя приведенные выше формулы:
/.а-
Производная по направлению» выраженная черев коордиват^
Компоненты
градиента
(d/, Ca) [обычный способ вычисления компонент, уравнение (2.21а)],
daf [из соотношения (2.17) между градиентом и производной по направлению],
дЦдх? [из уравнения (2.24)].
Таким образом, компонентами if являются частные производные вдоль координатных осей:
/.a = df/dxa, т. е. if=(df/dxa)ixa, (2.256)
что вполне согласуется с простейшей трактовкой градиента в дифференциальном исчислении. (Напомним, что ©“ = йха.) Из формулы d/ = (df/dxa)ixa напрашивается правильный вывод, что Hf являет-
7*
I
100 2. Основи специальной теории относительности
ся строгой формой «дифференциала», используемого в обычном анализе; см. дополнение 2.3.
Другие важные координатные представления геометрических соотношений исследуются в приведенных ниже упражнениях.
упражнения Выведите следующие формулы, полезные при вычислениях.
2.2. Опускание индекса, в результате которого получается
1-форма, соответствующая данному вектору
Компоненты Ua 1-формы и, которая соответствует вектору и, могут быть получены «опусканием индекса» с помощью метрических коэффициентов TJap:
Wa = IIctpWp, Т. е. U0=-U0, Uh = Uk. (2.26а)
2.3. Поднятие индекса, в результате которого восстанавливается вектор
Можно снова получить компоненты вектора и, поднимая индексы
ua = TjaPup; (2.266)
матрица || TjaP || по определению обратна матрице || тіар || и в данном случае совпадает с ней:
TiaPrjpv = 6%, Tjap = 1IaP Для Bcex a, Р* (2.27)
2.4. Различные способы- вычисления скалярного произведения
Скалярное произведение и и у можно вычислить любым из следующих способов:
и • у = g (и, у) = uai;Priap = uava = UceUpTiaP. (2.28)
Дополнение 2.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
«Внешняя производная», или «градиент» d/ функции / является более строгой формой простейшего понятия «дифференциал».
В элементарных учебниках дифференциал df вводится таким образом, что он характеризует «бесконечно малое изменение функции / (<9*)», соответствующее некоторому бесконечно малому смещению точки Si; но мы легко припоминаем, Что на смещение Ф не накладывается никаких ограничений, кроме бесконечной малости. Таким образом, df характеризует изменение / в некотором неопределенном направлении.
Ho это как раз то, что характеризует внешняя производная d/. Выберем какое-нибудь конкретное бесконечно малое смещение ? точки сЭ5. Результатом пересечения Hf вектором смещения у является число {if, У) = d4f. Это число равно
