Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Следует отметить, что поверхности В на самом деле ортогональны В, поверхности С на самом деле ортогональны С и т. д. Если они таковыми не кажутся, то только потому, что читатель приписывает пространственно-временному изображению эвклидову геометрию, а не лоренцеву. Он должен помнить, например, что так как С — нулевой вектор, то он ортогонален самому себе (C-C= 0), а поэтому сам должен лежать в плоскости 1-формы С. Te, кому трудно ориентироваться в пространственно-временных чертежах, могут ознакомиться с ними по элементарным руководствам, например [81].
Тильда над 1-формой р, соответствующей вектору р, часто опускается, и для обозначения обоих используется один и тот же символ р. Такое упрощение оправдано тем, что между р и р существует взаимно однозначное соответствие (как математическое, так и физическое).
2.1. УПРАЖНЕНИЕ
Покажите, что уравнение (2.14) согласуется с квантовомеханическими свойствами волны де Бройля
\|э = еіф = ехр [і (k-x—at)].
I 96 2. Основы специальной теории относительности
Дополнение 2.2. УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ, В КОТОРЫХ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ МЕТРИКА
Упражнение. Покажите, что квадрат длины 4-скорости пробной частицы равен —1.
Решение. В произвольной лоренцевой системе, используя компоненты (2.2), легко находим
и2= g (и, и) = мацРт)ар = - (и°)2+(и')2+(и2)2 + (и3)2= -т^Г+Т^Г= “4-
Упражнение. Покажите, что масса покоя частицы, ее импульс и энергия связаны знаменитым соотношением
(тс2)2= E2 — (рс)2, или, что то же самое (в геометрических единицах!),
т2= E2 — рг.
Первое решение. 4-импульс определен как p = mu, где и есть 4-скорость, а т — масса покоя. Следовательно, квадрат его длины
P2=To2U2= — т2= — (ти0)2+ т2и2 = -^2 +
t ?
Ez р2
Второе решение. В системе наблюдателя, где измеряются E и р, 4-импульс распадается на временную и пространственную составляющие
P0=E, PiBl +р2в2 +р3е3 = р,
а, значит, квадрат его длины
р2= —E2-\-pz.
Ho в системе, где частица покоится, р распадается на составляющие
р° = т, P1 = P2=P3 = 0; следовательно, квадрат его длины равен р2 = —т2. Однако квадрат длины является геометрическим объектом, определенным вне зависимости от каких-либо систем координат, поэтому различные методы его вычисления должны приводить к одному и тому же результату:
— р2 = т2 = E2—р2.
§ 2.6. ГРАДИЕНТЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ
градиент Простейшей 1-формой является градиент d/ функции /. Градиент —
как Т-форма 1-форма? Как это может быть? Ведь всегда считалось, что гради-
ент — это вектор. Да, но только потому, что нам не было знакомо более подходящее понятие 1-формы. Градиент, который нам более знаком, — это всего лишь вектор, поставленный в соответствие с помощью уравнения (2.14) 1-форме градиента. Гиперплоскости, характеризующие d/ в точке аР0 представляют собой поверх-
§ 2.7. Координатное представление геометрических объектов 97
I
ности уровня самой функции / с точностью до процедуры приближения их плоскостями и размещения через равные промежутки (см. фиг. 2.5, на которой ф следует отождествить с /). Точнее, они являются поверхностями уровня для линейной функции, аппроксимирующей / в бесконечно малой окрестности точки P0.
Почему возникло название «градиент» х) ? Потому что d/ в первом порядке описывает изменение функции / в окрестности P0:
f (P) = f (P0) +{if, P— (SP0) + нелинейные члены. (2.15)
(13 качестве сравнения полезно вспомнить, что фундаментальное понятие «производная» чего-либо означает «наилучшая линейная аппроксимация этого чего-либо в точке»,— трактовка, применимая даже в случае функций, аргументами и значениями которых являются бесконечномерные векторы! Cm., например, [92].)
Возьмем некоторый вектор у, построим кривую P(X), определяемую равенством P (X) — ^0 = ^v, и продифференцируем функцию / вдоль этой кривой:
<Э„/= (d/dX)x=of [# (A,)] = (df/dX)pQ. (2.16а)
«Дифференциальный оператор»
3» = (d/dX) при?. = 0,вдоль кривой & (X) - = X.V» (2.166)
который производит это дифференцирование, называется «оператором производной по направлению вектора у». Производная по направлению tf,/ и градиент d/ тесно связаны. Это сразу видно, если применить дч к уравнению (2.15) и вычислить результат в точке P0, что дает
d»/ = <d/, dP/dX) = (d/, v>. (2.17)
Выраженный словами, этот результат гласит: d/ — линейная машина для вычисления скорости изменения / вдоль произвольного вектора у. Введя у в if, на выходе получаем d4f («число пересекаемых плоскостей, число ударов колокола») — число, которое при достаточно малом у равно просто приращению / между основанием и острием вектора у.
§ 2.7. КООРДИНАТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
13 плоском пространстве-времени особое внимание уделяется лорен-цевым системам отсчета. Координаты в лоренцевой системе X0 (P), X1 (P), X2 (P), х^ (P) являются функциями, и мы можем вычислить их градиенты. В качестве гиперплоскостей каждой из получающихся в результате «базисных 1-форм»
&а = Іха (2.18)
*) Английское слово «gradient» имеет значение «скат, уклон».— Прим. перев.
