Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
1-форму можно трактовать и как машину, в которую вводятся векторы, а в результате получаются числа. Вводя V, на выходе получаем (k, V >. Поскольку поверхности к являются плоскими и расположены через равные промежутки, результат на выходе зависит от входных данных линейно:
(к, аи + Ьу) = а (к, и} + Ь (к, v>.
(2.12а)
§ 2.5. Дифференциальные формы 93
I
ФИГ. 2.6.
Сложение двух 1-форм а и (І, в результате которого получается 1-форма а. Требуется, исходя из изображения а и P в виде семейств плоскостей (например, (a, J0 — ^d0) = . . . —1, 0, 1,2,.. .), построить такое же изображение для а = а -|- р. Это построение, основанное на линейности (2.126) операции сложения, выполняется следующим образом: 1. Выберем несколько векторов и, V, . . ., параллельных поверхностям P (пересечения отсутствуют!) и пересекающих ровно 3 поверхности а; каждый из них тогда должен пересечь ровно 3 поверхности а. 2. Выберем еще несколько векторов w, . . ., параллельных поверхностям а, но пересекающих ровно 3 поверхности Р; они тоже должны пересечь ровно 3 поверхности а. 3. Теперь строим то единственное семейство поверхностей, расположенных через равные промежутки, на первой из которых лежат основания всех векторов и, у, . . ., w, . . ., а па четвертой — их острия.
В действительности именно это и есть математическое определение 1-формы: 1-форма является линейной, вещественной функцией досштриваемая векторов, Т. Є. линейной машиной, В которую ВВОДЯТСЯ векторы, векторов
а на выходе получаются числа. Задание машины к позволяет легко нарисовать соответствующие поверхности в пространстве-времени. Перем точку Si0, в которой расположена эта машина. Проходящей через Si0 поверхности к принадлежат точки Zfi, для которых (к, '3і—Si0) = 0 (ни одного удара колокола). Другим поверхностям принадлежат точки, для которых <к, &—Р0) - ±1, ±2,
±3, ....
Иногда 1-формы обозначают жирными латинскими буквами с тильдой наверху, например к, но чаще — полужирными буквами греческого алфавита, например а, Р, о. Результат действия 1-формы о па вектор U называют «пначенчем о на и» или «сверткой а с и».
1-формы, как и любые функции другого вида, можно склады- сложение вать. 1-форма аа 4- hP представляет собой машину (совокупность 1^0Pm поверхностей), результатом действия которой на вектор и является число
(аа + ЬР, и) = о(а, и)4-Ь(р, и). (2.126)
Ha фиг. 2.6 это сложение изображено с помощью поверхностей.
I
94 ?* Основы специальной теории относительности
Физическое соответствие между 1-формами и векторами
Математическое соответствие между 1-формами и векторами
Нетрудно убедиться в том, что совокупность всех 1-форм в данном событии образует «векторное пространство» в абстрактном, алгебраическом смысле этого понятия.
Вернемся к частице и ее дебройлевской волне. Точно так же, как стрелка р - - т(IfliIdx представляет наилучшую линейную аппроксимацию мировой линии частицы вблизи <-Ti0, плоские поверхности 1-формы к дают наилучшую линейную аппроксимацию кривых поверхностей дебройлевской волны частицы, а сама к является линейной функцией, которая наилучшим образом аппроксимирует дебройлевскую фазу ф вблизи Sfi0:
ф (оР) = ф ((S50) + (k, aP — (ST50) + члены более высокого порядка
по (P-Si0). (2.13)
На самом деле дебройлевская 1-форма к н вектор импульса р несут одну и ту же информацию, как с математической, так и с физической точки зрения (в квантовой механике). Для выявления соотношения между ними обозначим поверхности к посредством Й X фаза и получим при этом «1-форму импульса» р. Пересечение этой 1-формы произвольным вектором у приводит к результату (упражнение 2.1)
P-V = (р, V). (2.14)
Словами это можно сказать так: проекция вектора V на вектор 4-импульса р совпадает с числом поверхностей, которые у пересекает у 1-формы импульса р. Примеры. Векторы у, лежащие на поверхностях р (не пересекающие их), перпендикулярны р (проекция отсутствует); сам вектор р пересекает поверхности р р2 = = —тг раз.
Для любого вектора р существует единственная соответствующая ему 1-форма (линейная функция векторов) р, определяемая уравнением (2.14). Для любой 1-формы р существует единственный соответствующий ему вектор р, определяемый по проекциям на всевозможные другие векторы, которые находятся из уравнения (2.14). На фиг. 2.7 показано несколько векторов и соответствующих им 1-форм.
Отдельная физическая величина одинаково хорошо описывается как вектором р, так и соответствующей ему 1-формой р. Иногда более простым и естественным является векторное описание, а иногда больше привлекает описание с помощью 1-форм. Пример. Рассмотрим 1-форму, характеризующую изменение лоренцевой временной координаты в сторону будущего — поверхности X0 = = . . . , 7, 8, 9, . . .. Соответствующий вектор направлен в прошлое [фиг. 2.7 или уравнение (2.14)]; описание с его помощью нормального течения времени не так уж привлекательно!
§ 2.5. Дифференциальные формы 95
I
направление О
ФИГ. 2.7.
Несколько векторов А, В, С, О, E и соответствующие им 1-формы А, В, С, В, Е. Нарисовать U, которая ставится в соответствие вектору U, довольно легко. 1. Расположите поверхности U ортогонально вектору U. [Почему? Потому что любой вектор V, перпендикулярный U1 не должен пересекать поверхностей U (O=U-V= (U, V)), а значит, должен принадлежать поверхности U.] 2. Разместите поверхности U таким образом, чтобы количество поверхностей, пересекаемых некоторым произвольным вектором Y (например, Y=U) было равно Y -U.
