Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
90 2. Основы специальной теории относительности
3) Вычислим скалярное произведение двух произвольных векторов и и у:
и-V = g (u, V) = g(иаеа, i;pep) = uVg (еа, ер), и• V = u“lA]ap = — U°y°-f- IiV + U2V2 + W3U3. (2.11)
Тот факт, что направления и векторы в пространстве-времени можно разбить на «времениподобные» (с отрицательным квадратом длины), «пространственноподобные» (с положительным квадратом длины) и «нулевые», или «светоподобные» (с нулевым квадратом длины), обусловлен отрицательным знаком метрического коэффициента TJ00.
Дополнение 2.2 посвящено приложению изложенных выше идей и системы обозначений к двум простейшим проблемам специальной теории относительности.
§ 2.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Векторы и метрический тензор представляют собой геометрические объекты, уже знакомые читателю из гл. 1 и из элементарных курсов специальной теории относительности. Менее известен, но не менее важен третий геометрический объект—«дифференциальная форма», или «.1-форма».
Рассмотрим 4-импульс р какой-либо частицы, например электрона. К понятию импульса можно подойти, введя сначала 4-скорость этого электрона u = deP/dx («перемещение в пространстве-времени за единицу собственного времени вдоль прямой, аппроксимирующей мировую линию»). Это вектор единичной длины. Умножая его на массу частицы т, получаем вектор импульса
р = mu.
Ho в физике известен и другой подход к понятию импульса, при котором каждой частице приписывается волна де Бройля. Более того, эта волна имеет самый непосредственный физический смысл. Пусть эта волна испытывает дифракцию на кристаллической решетке. Картина дифракции позволяет определить не только длину волн де Бройля, но и ту конфигурацию в пространстве, которую образуют поверхности равных целочисленных значений фазы ф — 7, ф — 8, ф = 9, .... Эта конфигурация поверхностей, которую мы обозначим к, дает простейшую иллюстрацию, которую удается найти для 1-формы.
Для чего же может пригодиться конфигурация поверхностей в пространстве-времени, создаваемая такой 1-формой? Возьмем две близкие точки в пространстве-времени Si и Si0. Проведем стрелку у = Si — Si0 из Si0 в Si. Она пересечет определенное число поверхностей целой фазы волны де Бройля. Пусть каждый
§ 2.5. Дифференциальные формы 91
I
ФИГ. 2.4.
Вектор W=^ — 3d разделяющий два соседних события 3й й и 3°; 1-форма <г, вектор V, пересекаясь с поверхностями а, дает число
(а, у) = (число пересекаемых поверхностей) = 4,4
(4,4 «удара колокола»). Если а составлена из поверхностей постоянных значений фазы Ф = 17, ф = 18, ф = 19, ... дебройлевской волны электрона, то (в, у) равно разности фаз между событиями и ?Р. Отметим, что с помощью одних поверхностей не удается полностью охарактеризовать <т; необходимо еще указать ориентацию. Какое направление от поверхности к поверхности является «положительным», т. е. в каком направлении увеличивается ф?
раз, когда стрелка прокалывает очередную поверхность, звучит удар воображаемого колокола. Число проколотых поверхностей (число «ударов колокола») обозначается
(к, V).
Ж А
пересекаемая 1-форма — '¦— пересекающий вектор
Б рассматриваемом примере оно равно разности фаз между острием ((9і) и основанием (^0) вектора v (фиг. 2.4):
(k, V)= ф (&)-ф(Р0).
Как правило, ни аР0, ни Si не лежат в точках целочисленной фазы. Поэтому необходимо представить себе, что между поверхностями целой фазы равномерно распределено бесконечное число поверхностей со всеми промежуточными значениями фазы. С их помощью МОЖНО определить точное значение (k, V) = ф(еР) — ф(аРо)-Чтобы упростить математическую картину, будем трактовать к не как глобальную конфигурацию поверхностей волны де Бройля, а как локальную конфигурацию вблизи некоторой точки в пространстве-времени. Подобно тому, как вектор U = daP/dx характеризует локальное поведение мировой линии частицы (линейная аппроксимация кривой в общем случае), так и 1-форма к характе-
1-форма, рассматрп ваемая как совокупность плоских поверхностей, расположенных через равные промежутки
92 2. Основы специальной теории относительности
ФИГ.‘2.5.
Эта фигура служит двоякой цели, а) Она является иллюстрацией для 1-формы Гдебройлевской волны в событии 3йа (семейство плоских поверхностей, расположенных через равные промежутки, или «гиперплоскостей», аппроксимирующих поверхности постоянных значенні! фазы), б) Она является иллюстрацией для градиента dФ функции Ф (понятия, определенного в § 2.6), который представляет собой то же ориентированное семейство плоских поверхностей к = Лф. Различным событиям соответствуют различные к = бф — семейства по-равному ориентированных и расположенных через разные промежутки плоскостей. Изменение ф между основанием и острием очень короткого вектора у равно числу поверхностей d Ф, пересекаемых этим вектором, (d4>, у); на этой фигуре оно составляет —0,5.
ризует локальную форму поверхностей волны де Бройля (в линейном приближении; поверхности являются плоскими и расположены через равные промежутки, фиг. 2.5).
