Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Математическая теория геометрических объектов была развита Ньенхисом [85] и Черном [86—88]. Ho чтобы понять геометро-динамику и внести в нее свой вклад, не обязательно в совершенстве владеть этой изящпой и красивой теорией. Нужно лишь четко представлять себе, что геометрические объекты в пространстве-времени существуют независимо от координатных систем и систем отсчета. Точка в пространстве-времени {«событие») является геометрическим объектом. Стрелка, соединяющая два соседних события («вектор»), является геометрическим объектом в плоском
§ 2.3. Вектори 85
I
пространстве-времени, а его обобщение — «касательный вектор» является геометрическим объектом и в искривленном пространстве-времени. «Метрика» (машина, производящая квадрат
длины любого вектора, см. дополнение 1.3) — тоже геометрический объект. Чтобы дать определение этим понятиям, не требуется никаких координат.
В последующих параграфах вводится несколько различных геометрических объектов и демонстрируется роль, которую они играют в качестве представителей физических величин в плоском простр анстве-времени.
§ 2.3. ВЕКТОРЫ
Начнем с понятия вектора в простейшей трактовке (фиг. 2.1,6) — стрелки, направленной от одного события в пространстве-времени Jt («основание») к другому 98 («острие»). Запишем этот вектор в виде
V^jg = 9В — Л (или JiSS).
Для многих целей (в том числе и для последующего обобщения на случай искривленного пространства-времени) удобнее ввести другие, совершенно эквивалентные способы представления этого вектора. Представим стрелку в виде параметризованной прямой линии оР (X) = Jt + X (SB — Jt), где X = 0 соответствует основанию стрелки, а X = 1 — ее острию. Возьмем производную от этого простого выражения для Si (X):
(d/dX) [J + X (SB — d)\ = SS — A = ^ (1) — & (0) =
= (острие) — (основание) = ?
Способы
определения
вектора:
Стрелка
Прямая линия в параметри* ческом
представлении
Прямая в параметрическом представлении
ір(л) = а+л(®-Ф j
Вектор vg<g,понимаемый как стрелка й® или % - Q (неприменимо в искривленном пространстве)
г Вектор v(f$ >
понимаемый как Jf
d А
(применимо в искривленном пространстве)
ФИГ. 2.1.
От вектора, соединяющего две точки, к вектору, являющемуся производной («касательный вектор»; вместо билокального понятия — локальное).
I
86 2. Основы специальной теории относительности
Производная
точки
вдоль кривой
Компоненты
вектора
ФИГ. 2.2.
Один и тот же касательный вектор для двух, совершенно различных кривых. Проведена также параметризованная прямая, которая ближе всего приближается к этим кривым в точке J00. Касательный вектор лежит между точками 0 и 1 на этой прямой.
Этот результат позволяет рассматривать вектор не как объект, связанный с двумя точками («билокальный»), а как объект, связанный лишь с одной точкой («касательный вектор», локальный объект):
= (<W%=o. (2.1)
Пример. Если оР (т) — прямая мировая линия свободной частицы, параметром которой служит собственное время, то перемещение за интервал собственного времени в одну секунду дает стрелку и = S5 (1) — Si (0). Эту стрелку легко нарисовать на пространственно-временном чертеже. Она будет в точности равна 4-скорости частицы. Однако выражение u = CiSiIdx для того же самого перемещения, записанное через нроизводную, 1) ближе соответствует понятию скорости и 2) применимо в случае ускоренного движения. Таким образом, если мировая линия ^(T) искривлена, как на фиг. 2.2, то необходимо сначала вычислить daP/dx и лишь потом нарисовать прямую Si (0) + A, (d3* Idx) „ для стрелки и = d&ldx, изображающей 4-скорость и.
Для читателя такая точка зрения может оказаться непривычной. Более знакомыми могут быть компоненты 4-скорости в некоторой лоренцевой системе отсчета
М0= * -L=, Ui = -^=-^L=, (2.2)
dT Yi-V^ YI-W2
где
dxVdt — компоненты «обычной скорости», V2 = (Vx)2+ (Vv)2+(V2)2.
§ 2.3. Векторы 87
Ho даже компоненты 4-скорости (2.2) могут показаться слегка непривычными, если читатель привык к тому, что четвертая компонента вектора умножается на і = Y—!• Если это так, то необходимо освоиться с новыми обозначениями. (Cm. дополнение 2.1 «Прощай ict».)
Сам вектор — более фундаментальное понятие, чем его компоненты. Это геометрический объект, смысл которого не зависит от координат. У частицы есть мировая линия аР (т) и 4-скорость и = diP/dx, которые не связаны ни с какими координатами. Координаты появляются тогда, когда возникает необходимость в счетной машине (которая не признает векторов и воспринимает лишь числа). С этой целью в лоренцевой системе отсчета вводятся ортонормированные базисные векторы (фиг. 2.3) е0, elt е2 и е3. По отношению к началу О такой системы отсчета мировая линия может быть описана на координатном языке:
оР (т) — О — х0 (т) в0+Xі (т) Cl + X2 (т) в2 + X3 (т) в3 = х* (т) вц. 4-скорость частицы, выраженная относительно той же лоренцевой
t
ФИГ. 2.3.
4-скорость_ частицы в плоской пространстве-времени. 4-скорость и представляет собой единичный вектор (стрелка), касательный к мировой линии частицы; каждому событию на мировой линии соответствует один касательный вектор. В некоторой конкретной лоренцевой системе координат изображены базисные векторы единичной длины, направленные вдоль четырех координатных осей: е0, B1, ег, е3. 4-скорость, как и любой другой вектор, можно представить в виде суммы компонент, направленных вдоль базисных векторов: и =и®вв+в*в|+и^+и3в3 = ивва.
