Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
!) Если расстояние (03) задать произвольно, то получившаяся в результате фигура с четырьмя вершинами выйдет за пределы плоскости. Считая эту фигуру тетраэдром в трехмерном эвклидовом пространстве, можно показать, что ее объем дается формулой, полученной Никколо Фонтана Тарталья (1500—1557 гг.) и обобщенной в наши дни на случай п измерений [150]:
которая в случае трех точек сводится к обычной формуле Герона из Александрии (02—150 гг. н. э.):
для площади треугольника. Обратно, если четыре точки должны принадлежать двумерному эвклидову пространству, то объем тетраэдра должен быть равен нулю. Это требование накладывает одно условие на одно расстояние (03). Это условие проще рассмотреть, если взять (03) малым, а треугольник (102) — прямоугольным, как сделано выше. Однако общий принцип не зависит от этих упрощений и сразу же вытекает из обобщенной формулы Герона — Тартальи. В локально эвклидовом или лоренцевом пространстве п измерений достаточно выбрать (л -J- 1) опорных точек 0, 1, 2, . . ., п и определить расстояние от любой другой точки j, к, ... до этих опорных точек, чтобы потом уже можно было вычислить расстояние между самими этими точками к. .. . («расстояния между ближайшими точками, выраженные через координаты»; метрика как результат обработки данных о расстояниях).
* (3) = (13) - (10)
(13)
-J 3 И
(10)
/ (23) (20) /
0 /
2
(тп)2 = [х (т) — х (га)]2 + \у (т) — у (ге)]2.
0 1 I 1 ... I V2
1 0 (Ol)2 (02)2 ... (0п)2
I (IO)2 0 (12)2...(1 п)2
площадь = {s [s — (01)] [s — (02)] [s — (12)]) 1Z2, 2s = (01) + (02) + (12)
§ 13.3. Соответствие между геодезическим и прямыми 381
2
определения N (N — 1)/2 расстояний между этими N близкими точками удобно сформулировать следующим образом: 1) у каждой точки есть две координаты х и у, 2) расстояние выражается через эти координаты обычным для эвклидовой метрики образом, т. е.
As2 = (Ax)2 + (Ay)2.
Продвинувшись так далеко на основе «геометрии расстояний» (более подробно
о которой см. [51, 151]), можно сделать обобщение и перейти от малой области (эвклидовой) к большой области (неэвклидовой). Введем две произвольные, гладкие, повсюду независимые криволинейные координаты Xh и выразим расстояние не только в непосредственной окрестности точки 0, но также и в непосредственной окрестности всех остальных точек поверхности (за исключением тех мест, где нужно перейти к другому координатному листу; для 2-сферы необходимо по крайней мере два координатных листа) в виде формулы
ds2 = gJkdx?dxk.
Таким образом, из таблицы расстояний между ближайшими точками мы оставили теперь по 5 чисел на точку (две координаты х1, х2 и три метрических коэффициента ?п> 8іг = ?гі, ?гг)> уменьшив число данных в 100/5 = 20 раз по сравнению с предыдущим результатом (теперь 3 т данных, или полгрузовика).
Третья обработка: выражаем метрические коэффициенты через аналитические функции координат
Вместо того чтобы задавать в каждой из 2 -IO7 точек поверхности три метрических коэффициента, представим их как функции двух координат Xі, х2 в виде степенного ряда, или в виде разложения по сферическим гармоникам, или в каком-нибудь ином виде, оставив скромное число (скажем 100) подгоночных коэффициентов. Тогда информация о самой геометрии (в отличие от координат 2-IO7 точек, расположенных на этой геометрии) содержится в этих трех сотнях коэффициентов — на одной печатной странице. Прощайте грузовики! Короче, метрика является как бы стенограммой, в которой содержатся расстояния между всевозможными парами точек; но ее роль, ее обоснование, ее смысл — в этих расстояниях и ни в чем другом, как в множестве этих расстояний.
§ 13.3. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ГЕОДЕЗИЧЕСКИМИ ГЕОМЕТРИИ ИСКРИВЛЕННОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ И ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ ЛОКАЛЬНО ЛОРЕНЦЕВОЙ ГЕОМЕТРИИ
Многое еще можно было бы сказать о математическом аппарате и физических следствиях метрики, но перед нами встает более неотложный вопрос. Каким образом метрика (или пространственно-временной интервал) связана с геодезическими (или мировыми линиями пробных частиц)? Ответ: Два математических объекта («прямая линия в локально лоренцевой системе» и «геодезическая
2
382 13* Риманова геометрия
Локально
лоренцево
описание_____
прямых линий
Описание прямых линий с помощью геодезических
Условие совместности: в локально лоренцевой
системе Г°р я О
всеобъемлющей глобальной геометрии искривленного простран-ства-времени»), соответствующих одному и тому же физическому объекту («мировой линии пробной частицы»), должны совпадать между собой («условие совместности»). Рассмотрим это требование совместности более подробно. Начнем с того, что исследуем два математических представления мировой линии пробной частицы в окрестности данного события Si0. Локально лоренцево представление гласит:
«Выберем в ^50 локально лоренцеву систему. (Согласно рассмотрению, проведенному в упражнении 13.3, такая локально лоренцева система является наилучшим приближением к глобальной лоренцевой системе в Si0, т. е. это система координат, в которой
