Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 1" -> 141

Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 1 — М.: Мир, 1977. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom11977.djvu
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 180 >> Следующая


=e? вP = Л«Р = (— I» U !» !) по диагонали. (13.14)

Проверить это нетрудно (упражнение 13.1). 1. Выберем време-ниподобный вектор U (и *и <0). Если таковых не имеется, то пространство-время не является локально лоренцевым. 2. Если же хоть один найден, то рассмотрим все ненулевые векторы V, перпендикулярные и. Если все они пространственноподобны (V •? 5> > 0), то пространство-время является локально лоренцевым. Если нет, то оно таковым не является.

(13.11)

Поднятие

индексов

Метрика локально должна быть лоренцевой
2

378 -W- Риманова геометрия

УПРАЖНЕНИЯ

13.1. Проверка, является ля пространство-время локально лоренцевым

Докажите, что изложенная выше двухэтапная процедура проверки того, является ли пространство-время локально лоренцевым, верна; иными словами, докажите, что если эта процедура дает положительный ответ, то в интересующем нас событии существует ортонормированный базис с g^g = Tictp, а если она дает отрицательный ответ, то такого базиса не существует.

13.2. Приобретение навыков в обращении с метрикой

В четырехмерном многообразии с координатами у, г, 0, ф задан линейный элемент (в старых обозначениях)

ds2 = —(1 — 2M/r) dv2 + tIdvdr + г2 (d02 + sin2 0 Лфг), что соответствует метрике (в новых обозначениях)

ds2= —(1 —2M/r) dy ® dy + du ® dr 4-dr ® dy 4-+ г2 (dO ig) d0+sin20d<? <s> d<?),

где M — постоянная.

а. Найдите «ковариантные» компоненты gaр и «контравариант-ные» компоненты метрики в этой системе координат. [Ответ: gov = —(1 — 2M/r), gBr = grB = I, g00 = r2, ga = r2 sin2 0; все остальные ?а(3 равны нулю;

= grr = (l — 2M/r), g90 = r“2, g** = r_2sin_20;

все остальные равны нулю.]

б. Определите скалярное поле t с помощью соотношения

t == и — г — 2M In 1(г/2М) — 1].

Чему равны ковариантные и контравариантные компоненты (иа и и“) 1-формы и = At? Чему равен квадрат длины U2 = U-U соответствующего вектора? Покажите, что и времениподобен в области г>¦ 2М. [Ответ: u0 = l, Ur=—1/(1—2М/r), щ = цф = 0; uv——1/(1—2M/r), Ut = 0, и0 = иф = 0; и2=—1/(1—2М/г).]

в. Найдите самый общий вид ненулевого вектора w, ортого-

нального и в области г > 2М, и покажите, что он пространственноподобен. Отсюда сделайте вывод, что в области г > 2M пространство-время является локально лоренцевым. [Ответ. Поскольку W-U = WaUa = — wD/( 1 — 2M/r), wv должно обращаться в нуль, но W1., W&, Шф произвольны и W2 = (I — 2M/r) Wir + r~2WQ 4-

4- г-2 sin 2 0w% > 0.]
§ 13.2. Метрика 379

2

г. Пусть t, г, 0, ф — новые координаты в пространстве-вре- упражнения мєни. Найдите линейный элементе этой системе координат. [Ответ:

Это «шварцшильдовский» линейный элемент

= _ ( ! _ Ж. ) Л* + + Г2 d02 + ^ sin2 0 Ц*, ]

д. Найдите ортонормированный базис, для которого g = т]ар

в области г > 2М. [Ответ: вд = (I—2 M/r)~1/2d/dt, вр =

= (1-2М/г)Чгд/дг, в§ в г* д/дв, в ^ = (г sin 0)-1 д/дф.]

Дополнение 13.1. КАК ИЗВЛЕЧЬ МЕТРИКУ ИЗ РАССТОЯНИЙ Необработанные данные о расстояниях

Пусть форма земной поверхности описана так, как это изображено на фиг. 13.1 с помощью расстояний между какими-либо идентифицируемыми опорными точками: буями, кораблями, айсбергами, маяками, горными вершинами и флагами — всего между п = 2 -IO7 точками. Полное число расстояний, которые необ-

ходимо задать, составляет п (п — 1)/2 = 2 -IOu. Если на каждой печатной странице размещать по 200 расстояний, то всего получится IOia страниц по 6 г каждая, т. е. всего 6-10® т данных. Если все эти данные погрузить на 10е шеститонных грузовиков, и каждый грузовик будет проезжать мимо нас за 5 с, то чтобы перевезти все данные, потребуется 5-10® с, или 2 месяца непрерывного движения.

Первая обработка: оставляем лишь расстояния до ближайших точек

Расстояния между удаленными точками можно получить, сложив расстояния коротких элементарных участков маршрута. Сократим таблицу расстояний, задав лишь расстояния между каждой точкой и сотней других, ближайших к ней. Теперь мы имеем 100« =2-10® расстояний, что составляет 2-10^200 = IO7 страниц данных, или 60 т, или 10 грузовиков.
2

380 13. Романова геометрия

Вторая обработка: расстояния между ближайшими точками выражаем с помощью метрики

Будем считать, что поверхность Земли гладкая. Тогда в любой, достаточно ограниченной области геометрия является эвклидовой. Это обстоятельство приводит к замечательному следствию. Достаточно знать лишь несколько расстояний между ближайшими точками, чтобы иметь возможность определить все остальные расстояния между ближайшими точками. Расположим точку 2 так, чтобы точки

1, 0, 2 были вершинами прямоугольного треугольника; тогда (12)2 = (IO)2 + (20)2. Рассмотрим точку 3, близкую к 0. Положим по определению

Аналогично для точки 4 и расстояния (04) от нее До локального начала отсчета 0, а также и для расстояния (тп) между любыми двумя точками тип, близким к 0, имеем

Таким образом, для каждой точки т, близкой к 0 (т. = 3, 4, . . ., N + 2), нужно знать лишь расстояния (Im) (от нее до точки 1) и (2т) (от нее до точки 2), чтобы можно было найти расстояние от нее до любой точки п, близкой к 0. Правило
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed