Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
IlAa, вклад которого VuAnojleAa (вдоль линии, проходящей через начальную точку);
+ [v,u] AaAb, вклад которого V[?II]An0JieAaA&
= { V иV у — VvV и H- V[yt и]} AAaAb =
= R(..., Аполв, и, У) AaAb = M (и, у) AnoneAaAb. (11.15) Что получаем-. Оператор кривизны
R ( - --, •••,!!» УІ) — M (U, V) = [Vu, Vvl-V[U, у],
примененный к векторному полю Аполе, дает изменение локализованного вектора Алокализованный (называемого в процессе переноса АП0ДВИ1<ШЫЙ) в результате параллельного переноса по замкнутому контуру, взятое с обратным знаком. Он не дает изменения Anojie по окончании переноса вдоль этого контура, поскольку значения Anojie в начале и конце пути совпадают. В уравнении (11.14') это изменение выражено через представ
2
344 11• Отклонение геодезических и кривизна
ленный в удобном виде дифференциальный оператор Si (u, V) = = [Vu, Vv]
— Vv]- Парадокс: Действие этого оператора
на Anone не должно давать и не дает изменения Аполе. В чем недостаток: Оператор R (...,..., U, v) = R (и, V) по характеру своего действия на А имеет вид дифференциального, хотя на самом деле является локальным. Заменим предложенное гладкое векторное поле Anojie совсем другим, но тоже гладким векторным полем Anojie-новое. Тогда совпадения значений этих полей лишь в одной интересующей нас точке вполне достаточно, чтобы при вводе этих полей в R на выходе в этой точке получался один и тот же результат R (..., А, и, V) = 5? (u, V) А. Мы это знаем из того факта, что существование и значение найденной величины SA никак не зависит от выбора Anojie. В этом можно также убедиться и с помощью подробных выкладок (упражнение 11.2). Сущность: Хотя производные в операторе кривизны, отражающие изменение А от точки к точке, и сокращаются, они самым непосредственным образом выражают «скорость изменения геометрии от точки к точке» (отклонение геодезических). Дальнейшее обобщение: Замкнутый контур не обязательно должен быть черехсторонником. Оператор кривизны указывает, как изменяется вектор при параллельном перенесении вокруг малых кривых произвольной формы (дополнепие 11.7).
11.5. Компланарность замкнутых кривых
Пусть fj и f2 — бивекторы (см. дополнение 11.7) двух малых замкнутых кривых в одном и том же событии. Покажите, что эти кривые компланарны тогда и только тогда, когда f, = af2, где а—некоторое число.
Дополнение 11.6. ОТКЛОНЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ПО ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ: ДВА АСПЕКТА ОДНОГО И ТОГО ЖЕ ПОСТРОЕНИЯ
Отклонение геодезических. А
v„v„n-mn| (ДЯ)2Дп )
An-* О
(см. дополнения 11.2 и 11.3).
Отклонение геодезических. Б
Тот же результат, но другое построение. Чтобы упростить установление связи с переносом по замкнутому контуру, изменим наклон и масштаб параметризации геодезической на первом
§ 11.4. Параллельный перенос по замкнутому контуру 345
2
рисунке. В результате на втором рисунке ?
точки Si и Jk совпадут. Из дополнения 11.2,
Е, мы знаем, что JiS1 + 3S31 = JiSi SB31, т. е. VuVuIi для данного семейства геодезических и для исходного семейства одно тоже:
Дп-*-0
Чтобы упростить рассмотрение, положим также An = AA = 1 и будем предполагать, что п и и настолько малы, что VllVuIi можно вычислять, не переходя к пределу:
V11Vun==^J?.
Параллельный перенос по замкнутому контуру, осуществляемый с помощью того же построения
План: Перенесем параллельно вектор и ДА, = &31 против часовой стрелки вдоль кривой й-*-аР-*-Х-*-<іМ->-(!І. Исполнение: 1. Обозначим переносимый ректор ип.
2. В точке й имеем Un = @.3/. 3. В точке Si Un = SiCi, поскольку Si(ІЗ? — геодезическая, a Iin-ее касательный вектор. 4. В точке X Un = XoJfl согласно методу построения лестницы Шилда. 5. В точке оМ Un = oMjV', поскольку XoM Ж — геодезическая, а Un — ее касательный вектор. 6. В точке (jL Un=SiB* согласно методу построения лестницы Шилда. Результат: Изменение Un равно — 9ВЛ. При обходе кривой в противоположном направлении (X -*&-*¦ CL-+- e/ft -+¦ X) изменение было бы равно -f- SSЗі'.
(6и)в рсвультатс параллельного переноса = №3i = VиVиП. ввгрх вдоль п, вбок вдоль и, внив вдоль -ли опять вбок ВДОЛЬ -U к начальной точке
Дополнение 11.7. ЗАКОН ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА ПО ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ
А. Частный случай
Кривая представляет собой замкнутый четырехсторонник, образованный векторными полями и и V.
1. Закон имеет вид (в компонентной форме)
8Аа + Rafiy6AiW = O. (1)
2. От каких характеристик замкнутой кривой он зависит?
а. Заметим, что Rafiy6= —Rafi6y [антисимметрия по двум последним индексам очевидна из выражения (11.12) для компонент; очевидна также из того факта, что изменение направления обхода контура на противоположное, т. е. перестановка и и V, должно изменять знак 6А].
2
346 H- Отклонение геодезических и кривизна
б. В уравнении (I) u ® ? свертывается по этим двум последним, антисимметричным индексам. Симметричная часть u ® v должна давать нулевой вклад. Отличен от нуля только вклад антисимметричной части її Д» = u ® V — ? ® и:
ЬАа + у Д“рубЛр (и Д v)ve = 0. (2)
