Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
&.11.4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ПО ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ
!!вменение
вектора
при параллельном переноое вдоль замкнутого контура
Связь
о отклонением геодезических
(Доказательство см. в дополнении 11.6.) Следовательно, в этом частном случае можно записать
5u H- R (-.и, п, и) = 0.
Легко получить соответствующее обобщение. Выбираем замкнутый четырехсторонник с ребрами uAa и vAb (фиг. 11.2; Aa и ДЬ — малые параметры, впоследствии устремляемые к нулю). Обносим вектор А параллельным образом вокруг этого четырехсторонника.
ФИГ. 11.2
Изменение 6А вектора А в результате параллельного переноса по замкнутому контуру. Ребрами кривой являются векторные поля IiAa н vAЬ вместе с «замыкающим четырехсторонник» [vAb, IlAa] = [v, u] AaAb (см. дополнение 9.2).
В чем проявляется кривизна пространства-времени и как эти проявления можно описать количественно? Одним из проявлений является отклонение геодезических (относительное ускорение пробных тел), описываемое уравнением (11.10). Другим проявлением, имеющим почти такое же значение, является изменение вектора в результате параллельного переноса по замкнутому контуру. Этот эффект отчетливее всего выступает в той же проблеме — отклонении геодезических,— анализ которой привел нас к понятию кривизны. Вектор относительного ускорения VuVuII является в то же время изменением би вектора и, возникающим в результате параллельного переноса вдоль контура, ребрами которого являются векторы пии:
VuVuII = би.
2
342 •?•?* Отклонение геодезических и кривизна
Уравнение, которому удовлетворяет ато ивмененве
Вывод уравнения для этого изменения
Результирующее изменение А должно удовлетворять уравнению 6A + R(..А, иДа, »А6) = 0, (11.14)
или, что эквивалентно,
6A + AaA6j//(u, v)A = 0, (11.14')
или, точнее,
й,Ьга-)+*(- ^0- (1114'>
Ab-*-0
Доказательство этого соотношения крайне поучительно, поскольку оно выявляет геометрический смысл поправочного члена в операторе кривизны.
Контур обхода (фиг. 11.2) должен быть составлен из двух произвольных векторных полей иДа и vAЪ. Однако контур, составленный из одних только этих полей, имеет разрыв по простой причине. Величина и отнюдь не обязана меняться от точки к точке именно таким образом, чтобы смещение иДа, соединяющее стрелки ? внизу, соединяло эти же стрелки вверху, замыкая четырехсторонник. Аналогичным образом ? тоже не обязано изменяться именно таким образом, чтобы соединять стрелки U справа и слева. Чтобы ликвидировать разрыв и замкнуть контур, вставим «замыкающий четырехсторонник» вектор I ? АЬ, и Да] = = [у, и] AaAb. (Cm. дополнение 9.2, где показано, что этот вектор действительно замыкает контур.)
Теперь, когда контур фиксирован, нужно перенести вдоль него вектор А. Один способ—«геометрическое построение», осуществляемое многократным применением лестницы Шилда,— может служить основой при планировании возможного эксперимента. Чтобы наметить план абстрактной, свободной от координат вычислительной процедуры (принятый здесь метод рассуждений), введем «вспомогательное поле», которое будет отброшено по окончании этой процедуры. Плат Будем считать, что А — не локализованный вектор, определенный в одной лишь начальной точке маршрута, а векторное поле (определенное по всему маршруту). Цель: Получить эталон сравнения (для сравнения А, перенесенного из начальной точки, с А в интересующем нас месте). Основание: Эталон сравнения выпадает из окончательного результата. Ход рассуждений:}
/ полное изменение, возникающее в результате^ того, что мы берем вектор А, расположенный в начальной точке контура, и переносим его
—8А = — параллельно (А подвижный) вдоль замкнутого контура. Эту величину нельзя найти, пока контур не замкнут, поскольку вдоль пути переноса \ нет заранее заданного эталона сравнения
§ 11.4. Параллельный перенос по замкнутому контуру 343
+
. S1
ребра
контура
величина, которая может быть найдена для каждого ребра контура по отдельности. Эту новую величину можно определить лишь после введения во всей области векторного поля Anone, изменяющегося гладким образом и совпадающего в начальной точке с исходным локализованным вектором А, но в остальном произвольного. Эта новая величина равна Anone в начальной ТОЧКе (совпадающий С Длокализованный в на_ чальной точке) минус Дподввншый и конечной точке (после переноса)
ИЗМЄПЄНИЄ Anwie п0 отношению К Дподввжный' в результате параллельного переноса вдоль данного ребра. Эта величина для каждого ребра зависит от произвольно выбранного Аполв, но этот произвол выпадает из окончательного результата благодаря замкнутости контура
изменение Дполе по отношению к параллельно перенесенному AnoABHJKHUttj взятому в качестве эталона сравнения, составленное из вкладов от следующих ребер, показанных на фиг. 11.2:
уА6, вклад которого V1AnoneAb (вдоль линии, смещенной на IiAa от начала);
— уА6, вклад которого — VyAnomAb (вдоль линии, проходящей через начальную точку);
—IlAa, вклад которого — VuAnoneAa (вдоль линии, смещенной на vAb от начала);
