Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
1. Рассмотрим семейство траекторий пробных частиц г7 (t, п) в обычном трехмерном пространстве: t — время, измеряемое по часам частиц или по любым другим часам, п — «параметр отбора».
Геометрический анализ
1. Рассмотрим семейство траекторий (геодезических) P (А,, п) в пространстве-времени: А,—аффинный пара-
метр, т. е. время, измеряемое по часам частиц, п — «параметр отбора».
22-01457
2
338 H- Отклонение геодезических и кривизна
2. Уравыеыие движения для каждой траектории имеет вид
/ , дФ_ о
I dfi /„+ дхі и’
где Ф—ньютоновский потенциал.
3. Найдем разность между уравнениями движения для соседних траекторий п и п + Дге и перейдем к пределу при Дп->- О, т. е. возьмем производную
(*Штг ).+?]-<».
4. Действие д/дп на второе слагаемое перепишем в виде
/ д \ _ / дхк \ д ft _?_ •
V дп )t~ V дп )t fak = п дхк ’ отсюда получаем / д \ І д \ І дхі \ . 02ф k
Шли).ЫL+-STST'* “°-
5. Чтобы получить уравнение для относительного ускорения, «протащим» (d/dn)t сквозь оба оператора (d/dt)n (допустимая операция, поскольку частные производные коммутируют!); получим
/ д \ / д \ I дхі \ 02ф ь
\ dt) n ( dt Zn ( дп дхідхк П ~~
2. Уравнение геодезических для каждой траектории имеет вид
VuU = 0.
[По виду похоже на уравнение первого порядка; на самом деле это уравнение второго порядка, поскольку и само является производной, U = = (WA)n.]
3. Найдем разность между уравнениями геодезических для соседних геодезических п И П + Лй и перейдем к пределу при Are—> 0, т. е. возьмем ковариантную производную
Vn [VuU] = 0.
4. Здесь нет второго слагаемого, поэтому оставляем уравнение в виде
Vn[V„u] = 0.
5. Чтобы получить уравнение для относительного ускорения VuVuIl, «протащим» Vn через Vu и через д/дХ в и = д^Р/дХ:
а. Первый этап: «Протащим» Vn через Vu в VnVuU = 0. В результате получим
§ 11.3. Приливные сили тяготения и тензор Римана 339
2
Это эквивалентно уравнению
д2Ф
(-U
\ dt2 I ' дхідхк t______ t
I I I I
«относитель- «силы тяго-
ное ускоре- тения, вызы-
ние» вающие при-
ливное воздействие»
(V„V„+ [Vn, Vu]) и = 0.
S V '
I—1—I
коммутатор; его присутствие необходимо, поскольку в общем случае VuVп VnVи*
б. Второй этап. «Протащим» Vn через д/дХ в и = дР/дХ. В результате получим
v. д.9> _ _ _ д&
V"~дХ ~ VnU — V“n — Vu 1ы
t 1 t
I I определение U Г~ I определение п
Почему? Потому что из симметрии ковариантной производной следует
VnU- V1Ii-In, •] = [?, ^j =
=_?__________0.
дп дХ дХ дп
в. В результате имеем
V„V„n + [Vn, VuJu = O t Г
I «относительное 11 I «силы тяготе-
ускорение» ния, вызываю-
щие приливное
воздействие»,
т. е. «кривизна
пространства-
времени»
Дополнение 11.5. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ РИМАНА
А. Определение R, мотивируемое приливными силами тяготения
1. Приливные силы (кривизна пространства-времени) вызывают относительное ускорение пробных частиц (геодезических), определяемое ив уравнения
VuV„n+ [Vn, V«]u = 0. (1)
22*
2
340 11- Отклонение геодезических и кривигна
2. Исходя из этого, было бы естественным положить по определению
R(...,C, Д, В)= [Т., VbIC. (2)
T
1--------[пустой канал для ввода 1-формы
Б. Несостоятельность этого определения
1. Определение можно считать приемлемым лишь в том случае, если R(..., С, А, В) является линейной машиной, не зависящей от того, как А, В, С меняются от точки к точке.
2. Проверим это на частном примере: проварьируем изменение С, но не само Ct в событии <?Р0:
Сновое (0*)=/(«*) Сстарое
(#).
t
!—[произвольная функция для которой / (Si0) = 1
3. Приведет ли это к изменению [Ta, VbI С? Да! В упражнении 11.1 показано, что
{[Ta, Vb] Сновое}в ,P0 {[Va, Vb] Сстарое}в .tP0— CcTapoeV[A, В]/•
В. Модифицированное определение R
1. От члена C0TapoeV[A, в]/, который нам мешает, можно избавиться, вычтя
из R похожий на него «поправочный член», т. е. переопределив R сле-
дующим образом:
R (..., С, А, В) = (А, В) С, (3)
Л (A, B)*[V*, Vb]-Via, в]. (4)
2. Тогда результат изложенной выше процедуры не зависит от «варьирующей функции» /:
{М (А, В) СНовое}в ?Р0~ (А, В) С старое}в /Pq*
Г. Совместимо ли модифицированное определение с уравнением для приливных сил тяготения?
1. Хотелось бы написать VuVuIi + R (..и, п, и) = 0.
2. Это соотношение справедливо как для первоначального определения R, так и для модифицированного определения, поскольку
«5? (П, Il) :— [Vn, Vк] V[n, и] = [Vid Vu].
____________1_____________
I I
= 0, так как п = (д1дп)ь и и = (д/дк)п коммутируют
Отклонение геодезических и приливные силы не позволяют провести различие между Ща, и) и [Vn, Vul, а следовательно, между старым и новым определениями R.
§ 11.4. Параллельный перенос по замкнутому контуру 341
2
Д. Приемлемо ли модифицированное определение?
Иначе говоря, является ли R (. . ., С, А, В) ^ Si (А, В) С линейной машиной, результат на выходе которой не зависит от того, как А, В, С изменяются в окрестности той точки, где мы вычисляем R ? Да\ (Cm. упражнение 11.2.)
