Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Зі (А, В) = IV*, Vb]-V[a, в]> (И.8)
где V[A, в]—производная вдоль вектора [А, В] (коммутатора А
и В), [j? (А, В) = [Va, VbI Для полей A = п и B = U в задаче
об отклонении геодезических лишь потому, что [n, и] = 0.] Тогда модифицированное и уже безупречное определение тензора кривизны Римана принимает вид
R (..., С, А, В) s ^ (А, В) С,
R (о, С, А, В) = <о, $(А, В) С). (11,9)
Однако определить таким образом R и убедиться в его тензорном характере (упражнение 11.2) никоим образом не означает еще усвоить, что представляет собой кривизна. Чтобы понять, что такое кривизна, нужно тщательно изучить R со всех точек зрения. Этой задаче и посвящена остальная часть данной главы.
Для начала оценим тот запас знаний о тензоре кривизны Римана, который у нас уже имеется.
1. R есть тензор; несмотря на то что в определении (11.9) фигурирует V, никакие производные на самом деле не действуют иа входные векторы А, В и С.
2. R есть тензор ранга Ц); в его первый канал вводится
1-форма, в остальные — векторы.
3. R полностью определяется оператором V, или, что эквивалентно, геодезическими пространства-времени, или законом параллельного переноса в пространстве-времени; чтобы определить число на выходе R не требуется ничего, кроме оператора V и векторов и 1-формы на входе.
4. R вызывает приливные силы тяготения, которые расталкивают или стягивают геодезические (траектории пробных частиц), т. е. он характеризует «кривизну пространства-времени»:
VuVun + R(..., u, n, и) = 0. (11.10)
(Это уравнение отклонения геодезических вытекает из уравнений
11.6, 11.8 и 11.9 и соотношения [п, и] = 0.)
Все эти аспекты R касались его облика с наглядной (например, отклонение геодезических; см. дополнения 11.2 и 11.3) или абстрактной (например, выражения для R (11.8) и (11.9) через V) точек зрения. Облик R с точки зрения компонентных обозначений
Явртв = R (®“* Ofi, ву, Єб) = (Ю®, %(ev, в«)вр), (11.11)
Определение
оператора
кривизны
Определение
тензора
кривизны
Римана
Выражение енл тяготения у. вызывающих прнлнвное воздействие, через В
Выражение компонент R через
коэффициенты
связности
2
336 H- Отклонение геодезических и кривизна
УПРАЖНЕНИЯ
связан с аналогичным обликом V следующим соотношением, справедливым в любом координатном базисе {еа} -- [Oldxa):
Raм = hSt-'+ Г“Л- Г“,вГ%у. (11.12)
(Вывод см. в упражнении 11.3, а обобщение на случай некоординатного базиса — в упражнении 11.4.) Увидев эти компоненты R, в которых нет и намека на какой-либо оператор дифференцирования, читатель, возможно, почувствует некоторое облегчение после определения (11.8) с его недифференцирующими операторами дифференцирования!
11.1. [Va, Tb] С зависит от производных С
(Опирается на дополнение 11.5.) Пусть СНовое и Сстарое—векторные поля, связанные соотношением
Сновое (^) — / (®^) Сстарое (l^i)*
Г
------------------------1
произвольная функция, у которой / (^о) = 1
Покажите, что
«V*, VbI Сновое}в — {[ Va» Vb] Сстарое}в — CcTapoeV[А, В]/¦
11.2. Доказательство того, что R есть тензор
Исходя из определения (11.8, 11.9), покажите, что R есть тензор. Указание. Воспользуйтесь следующей процедурой.
а. Покажите, что для произвольной функции f(JP)
Я (А, В)/С =/.# (А, В) С.
б. Подобным же образом покажите, что
Ж (/А, В) C =/Л (А, В)С и Я (А, /В) C =/Я (А, В) С.
в. Покажите, что оператор Я (А, В) С линеен, т. е. что
J?(A + a, В) С = Я (А, В) С +.Я (а, В) С, Я (А, В+b) C = Я (А, В) С + Я (А, Ь)С, Я (А, В) (С + с) = J? (А, В) С + Я (А, В) с.
г. Используя полученные выше свойства, докажите самое важное свойство M (А, В) С: любое варьирование скоростей изменения (градиентов) А, В и С, сохраняющее неизменными зна-
§ 11.3. Приливные силы тяготения и тензор Римана 337
чения А, В, С в точке (Ss0:
А -> А + а“ва "j
В-»-В+Ь“ва г [«“ (t^s), Ьа (P), Ca(P) равны нулю при P = P0, р_^р_1_сав JaB остальном произвольны]
оставляет неизменным значение 31 (А, В) С в точке P0.
д. Исходя из этих фактов, придите к выводу, что R есть тензор.
11.3. Компоненты R в координатном базисе
Выведите выражение (11.12) для компонент тензора Римана в координатном базисе. [Решение:
= R(а>а, Єр, ev, е«) (обычный способ вычисления компонент) = (юа, M (ву, вб) вр> (согласно определению (11.9))
= («>“, (VvVe- VeVv) вр> (согласно определению (11.8)
и условию [ev, вр]=0 в координатном базисе)
= <ю“, OtlI1Vv+ (Bvrvliv) Tp6-OtvTVe-(OvTll6) rv> =
= (Tpe.v—rv.e) <«>“, Oti)+ (ТHvTp6—T^6Tpv) (CO», ev)i что сводится к (11.12), если учесть, ЧТО (<Ла, 6^ = 6%.]
11.4. Компоненты R в некоординатном базисе
Выведите следующее выражение для компонент R в некоординатном базисе с коммутационными коэффициентами capv, определяемыми соотношением (9.22):
RaM= Tp6.v-Tpvi6 + TuvTp6-Tll6Tpv-Та(Л,6>\ (11.13)
2
УПРАЖНЕНИЯ
Дополнение 11.4. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ: ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, ВЫПОЛНЕННЫЙ ПО СХЕМЕ НЬЮТОНОВСКОГО АНАЛИЗА
Ньютоновский анализ
