Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
В. Действительные положения точки пантографа, скользящей по пробной геодезической, при значениях времениподоб-ного аффинного параметра (А — ДА,), А и (А + ДА).
Г. Сопоставление действительной траектории точки пантографа, скользящей по пробной геодезической, с «канонической траекторией» — траекторией, вдоль которой эта точка должна была бы следовать, чтобы отстоять от опорной точки пантографа (скользящей по опорной геодезической) на постоянную величину.
Д. Ta же пробная геодезическая, что и на предыдущем рисунке с аффинным параметром, масштаб которого подвергнут равномерному растяжению. Любая мера отклонения действительной траектории, совпадающей с геодезической, от канонической траектории JlQ1SS не должна зависеть от этого растяжения, только тогда она может быть полезной. Поэтому в качестве меры отклонения геодезических возьмем не вектор SSM и не вектор Л 3і по отдельности, а независимую
1.2. Относительное ускорение соседних геодезических 333
2
д
от растяжения комбинацию 62 = (9891) + (AiP1). Здесь подразумевается, что прежде, чем выполнять сложение, оба вектора перенесены параллельно в общую точку (на рисунке это 6; в пределе дифференциального исчисления Au —О, ДА, -> 0 это М).
Е. Другие траектории, по которым могла бы пройти через точку $ пробная геодезическая [семейства геодезических, отличающиеся степенью расходимости (слева) или сходимости (справа)]. Другой наклон приводит к изменению ASi (переходит в А&) ml 98M (переходит в 98 М) по отдельности, но не их суммы
= (98 М) + (AiP) («правило рычага»).
Отметим, что стрелка 98M — первого порядка по ДА, и первого порядка по Дп, то же справедливо и для Adi; следовательно, сумма 62 — второго порядка по ДА, и первого порядка по Ап. Отсюда заключаем, что стрелка 62/(ДА,)2 (An) есть искомая мера отклонения геодезических в том смысле, что она не зависит от
1) размера ячейки (в конце устремляется к нулю);
2) параметризации пробной геодезической;
3) наклона пробной геодезической.
Назовем эту стрелку вектором относительного ускорения; более тщательное рассмотрение (дополнение 11.3) позволяет найти для этого вектора следующее выражение:
Дополнение 11.3. ОТКЛОНЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ:
КАК ОТ СТРЕЛКИ ПЕРЕЙТИ КО ВТОРОЙ КОВАРИАНТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Стрелка 62 в дополнении 11.2 служит не мерой скорости изменения разделения между пробной геодезической п + Дп и «канонической траекторией» AQ98, играющей роль базисной линии, а мерой второй производной:
бгДДА,)2 (An) = VuVun.
(первая производная в А, + у ДА,) = Vun
ДА An ДА An '
^ первая производная в А, — у ДА J = VuIl
ДА An AKAn ’
2
334 H' Отклонение геодеатеских и кривизна
Перемещая к общему местоположению X, вычитая и деля на ДА, получаем вторую ковариантную производную вдоль вектора и; таким образом,
(Vyll) J (4).5? +<7#«^векторы, перенесенные
ля. 2 2 _ к общему местоположению
VuV"n=----------------ДХ---------------------------(ДХ)2Д П----------------
As
= — вектор относительного ускорения соседних геодезических.
Выражение сил
тяготения,
вывывающвх
приливное
воздействие,
через
коммутатор
§ 11.3. ПРИЛИВНЫЕ СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ И ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ РИМАНА
Определив «относительное ускорение», перейдем теперь к «приливным силам тяготения» (т. е. к «кривизне пространства-времени»), которые его вызывают. Приливные силы в рамках ньютоновской теории рассмотрены в дополнении 11.4. Это рассмотрение побуждает подобным же образом провести геометрический анализ приливных сил, что и сделано в том же дополнении. В результате получается замечательное уравнение
V„V„n + [ Vn, V„1 u = 0. (И.6>
t
t
і----------------------------->
силы тяготения, вызывающие приливное воздействие
относительное ускорение
Это уравнение замечательно тем, что с первого взгляда оно кажется абсурдным. Выражение [Vn. VuI и включает вторые производные от и и первую производную от Vn:
[Vn, VulU = VnVuU-VuVnU. (11.7)
Значит оно должно зависеть от того, как пип меняются от точки к точке. Ho известно, что вызываемое им относительное ускорение VuVun зависит лишь от значений и и п в опорной точке, но не от того, как изменяются и и п (см. дополнение 11.2, Е). В чем же тут дело?
Все производные в выражении для приливных СИЛ [Vn, Vul и должны каким-то образом сократиться. У нас должно быть право считать [V. . V. . .1 чисто локальной алгебраической машиной с тремя входными каналами, на выходе которой получается вектор. Ho если она чисто локальна, а не дифференциальна, то она к тому же линейна (что сразу следует из свойств аддитивности V), и тогда это должен быть тензор. Назовем этот тензор R и снабдим его четвертым каналом для ввода 1-формы:
R(..., С, А, В) = [Va, VbIC,
R (о, С, А, В) = (о, [V*. VbIC).
Данное определение R является лишь предварительным. Прежде чем принять его, необходимо убедиться, что это действительно
§ 11.3. Приливши силы тяготения и тензор Римана 335
2
тензор. Действительно ли он зависит только от значений А, В, С в той точке, где мы его вычисляем, а не от того, каким образом они в ней изменяются? Ответ (полученный в дополнении 11.5) гласит: «Почти». Он не удовлетворяет этому условию, но удовлетворит ему, если его слегка модифицировать. Модификация сводится к замене коммутатора [V*, VbI оператором кривизны
