Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(11.1)
Касательный вектор
а.Ф
u = (обозначения Картана),
Геометрия
семейства
геодезических
Параметр
отбора
Аффинный
параметр
Касательный
вектор
ФИГ. 11.1.
Однопараметрическое семейство геодезических. «Параметр отбора» п указывает, которая из геодезических. Аффинный параметр к указывает, где на данной геодезической. Показаны два касательных вектора: U = д/дк (у Картана дЗЧдк) Iin= д/дп (у Картана дЗ'Ідп).
330 11- Отклонение геодезических и кривизна
ИЛИ
U = -^jj- (обозначения этой книги), (11.2)
постоянен вдоль любой данной геодезической в следующем смысле: вектор и, взятый в произвольной точке и перенесенный параллельно вдоль геодезической, в любой другой точке совпадает по длине и направлению с вектором и, который уже существует в этой точке.
Разделяющий вектор
п =(обозначения Картана),
или
п = -^- (обозначения этой книги), (И-З)
служит мерой того, насколько от геодезической п, принятой за опорную, отстоит близлежащая геодезическая п + Дга (Дп мало), в том смысле, что
{Дп^-Л „ Ґ положения точки Л
. ; измен" ияР0И . }.<«•*>
An— J ^какои-либо функцииJ
обусловленного тем, что мы перевели внимание от одной геодезической к другой при фиксированном значении аффинного параметра X. Этот вектор представлен стрелкой oMGL на первом рисунке дополнения 11.2.
Дополнение 11.2 дает иллюстрацию тому, что имеется в виду, когда речь идет об отклонении геодезических. Переносим разделение пАга = qM(5l параллельным образом вдоль опорной геодезической. Острие этого вектора вычерчивает каноническую траекторию, вдоль которой должна следовать близлежащая точка пантографа, отстоящая на постоянную величину от опорной точки пантографа, когда последняя следует вдоль опорной геодезической. Действительная траектория пробной геодезической оклоняется от этой «канонической» траектории. Отклонение, которое представляет собой вектор (ASt в дополнении 11.2), меняется с изменением аффинного параметра (ASt в А, 0 в (И, 9831 в 9S). Первая производная от этого вектора по аффинному параметру зависит от масштаба параметризации пробной геодезической и от ее наклона (дополнение 11.2, Е). Вторая производная от них не зависит; она зависит лишь от касательного вектора опорной геодезической и от разделяющего вектора пДп. Раделим эту вторую производную отклонения на Дп и назовем результат вектором относительного ускорения. В дополнении 11.3 для него получена простая формула:
вектор относительного ускорения = VuVulU (11.5)
11.2. Относительное ускорение соседних аеодеаических 331
2
Дополнение 11.1. ОТКЛОНЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ И РИМАНОВА КРИВИЗНА В КРАТКОМ ИЗЛОЖЕНИИ
«Разделение геодезических» п представляет собой смещение (касательный вектор) из точки на опорной геодезической в точку близлежащей геодезической, характеризующуюся тем же значением аффинного параметра X.
Разделение геодезических меняется с изменением X (т. е. меняется вдоль касательного вектора u = d/dX) со скоростью, определяемой уравнением отклонения геодезических
VuVun+R(...t u, n, u) = 0 (1)
(уравнение второго порядка; см. § 1.6 и 1.7; фиг. 1.10—1.12).
Записанная через компоненты тензора кривизны Римана, движущая сила {«приливная сила тяготения») равна
R (..., и, п, и) = еаДазубиР»7и*- (2)
Компоненты тензора кривизны Римана в координатной системе отсчета, выраженные через коэффициенты связности, имеют вид
~ iSt + “ rW (3>
Этот тензор кривизны не только количественно описывает понятие «приливная сила тяготения», но и входит в закон Эйнштейна, согласно которому «материя указывает пространству-времени, как искривляться». Этому закону, изучаемому в последующих главах, в заданной системе координат можно придать форму следующего алгоритма для вычислений:
а. Запишем пробное выражение для динамической эволюции метрических коэффициентов ^liV по времени.
б. Найдем коэффициенты связности по формулам
r%v-(4)
Г, I / ^pv , dSfyi \ /сч
r^-T(5)
(полученным в гл. 13).
в. Найдем из формулы (3) тензор кривизны Римана.
г. Найдем тензор кривизны Эйнштейна согласно
Gll4=Raiia4-Jg^gaxRaaax (6)
(геометрический смысл изучается в гл. 15).
д. Подставим его в уравнения Эйнштейна (гл. 17):
GliV = 0 (пустое пространство),
Guv = SnrilV (пространство, в котором есть масса-энергия).
е. Проверим, правильно ли было выбрано пробное выражение для динамической эволюции геометрии; если нет, то изменим его так, чтобы оно стало правильный.
2
332 11~ Отклонение геодезических и кривизна
Дополнение 11.2. ОТКЛОНЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ, ПРЕДСТАВЛЕННОЕ В ВИДЕ СТРЕЛКИ
А. «Опорная геодезическая» п. Разделяющий вектор пДга = а///& выходит из точки ч/К на ней и направлен в точку й с тем же значением аффинного параметра А (време-ниподобной величины) на соседней «пробной геодезической» п + Дп.
Б. Параллельный перенос <М(Л с помощью «лестницы Шилда» (дополнение 10.2) в j( iSS и ХЛ. Если бы пробная геодезическая п+ Дп отстояла от опорной геодезической пна постоянную величину, то точка пантографа, скользящая по пробной геодезической, попала бы Bi при значении аффинного параметра (А, — ДА,) и в SS — при значении (А + ДА).
