Единая теория поля: Философский анализ современных проблем физики элементарных частиц и космологии. Опыт синергетнческого осмысления - Минасян Л.А.
ISBN 5-4S4-G0179-X
Скачать (прямая ссылка):
Методология исследования
31
ных автором [144. С, 25]: «1) анализ практически дотіусгнмьгх начальных возмущений; 2) анализ практически допустимых последующих отклонений; 3) опенка временного интервала, за пределами которого эволюция системы не представляет интереса; 4) анализ максимально допустимых внешних воздействий». Вопросы эти имеют широкое поле пересечений с проблемами, обсуждаемыми в антропном принципе.
В процессе эволюции сложных нелинейных систем возможны критические точки, называемые бифуркацией. Бифуркация — это ситуация, когда изменение значения параметра переводит систему в состояние скачка, в частном случае, вызывает изменение типа аттрактора. Основная заслуга в разработке теории потери устойчивости состояний равновесия принадлежит работам А. Пуанкаре и А. А. Андронова Значение управляющего параметра в момент бифуркации называется точкой бифуркации. Различают три вида бифуркации — неявную, катастрофу и взрыв. В случае неявной бифуркации аттрактор меняет тип. Катастрофой называется ситуация, когда возникает новый аттрактор, т. е. возникает в том месте, где он ранее не существовал, или же аттрактор исчезает вовсе. Это означает, что при изменении параметра порядка и подходе его к бифуркационному значению, положение равновесия, слившись с другим, неустойчивым положением равновесия, вовсе исчезает или же рождается пара других положений равновесия. Иными словами, система совершает скачок в совершенно другой режим. Ситуации, когда пространство состояний меняет размерность, получили название взрывов.
С помошью линейного анализа устойчивости удается исследовать изменение поведения системы выше критического значения управляющего параметра, определить, существует ли новая ветвь решения, тянется ли она до бесконечности или претерпевает другую бифуркацию. Иными словами, синергетика дает достаточно развитый математический аппарат, с помощью которого удается решить большой спектр проблем в разных областях знания.
Подчеркнем, что в фокусе внимания синергетики лежит изучение процессов, переводящих систему в состояние, соответствующее режиму странного аттрактора. Из вышесказанного понятно, что странный аттрактор представляет собой состояние системы, в котором проявляется согласованное, высоко коррелированное поведение огромного числа элементов. Возникает вопрос о возможности перевода системы в такое состояние, используя бифуркационное значение управляющих параметров. Именно перспектива управления сложными системами, перевода их в состояние самоорганизации, делает синергетику чрезвычайно привлекательной для научного сообщества, придает ей транедисциплинарньш статус. В самых разнообразных природных и общественно-социальных явлениях существует единство подходов к описанию переходов системы в состояние детерминированного
32
Глава 1
хаоса. При этом в каждом отдельном случае важен, в первую очередь, верный выбор из множества степеней свобода системы параметров порядка, которые определяют поведение не только растущих, но и затухающих конфигураций. Ибо сложность системы зависит не только от числа взаимодействующих переменных, но и от силы их взаимного влияния, т е. от управляющих параметров. Возникает проблема оценки сложности системы. Здесь имеются разные подходы, в том числе сложность может быть оценена экс-понентой Ляпунова или фрактальной размерностью.
Следует обратить внимание, что многие задачи на сложность удается решать, используя фрактальный подход [см., например, 142; 147], Первый пример фракталов был приведен в XIX веке Вейерштрассом: он показал существование непрерывных функций, нигде не имеющих производных. Второе дыхание этот класс математических объектов получил с появлением в 1977 году работы Б, Мандельброта «Форма, случай и размерность». В этой работе вводится термин фрактал, что в переводе с английского fractal означает состоящий из фрагментов. Фракталы обладают масштабной инвариантностью. Некоторое время считалось, что они описывают объекты и системы дробной размерности. Например, дробная размерность линии возникает в том случае, когда эта линия, в пределе «почти сатошь» заполняет какую-то поверхность, В первом варианте Мандельброт дал следующее определение фрактала: «Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа—Безиковича которого строго больше его топологической размерности» [Цит. по: 142. С. 19]. Для гладких поверхностей размерность Хаусдорфа—Безиковича совпадает с топологической размерностью объектов, для фракталов же размерность Хаусдорфа—Безиковича обычно принимает дробные значения. Однако со временем выяснилось, что размерности некоторых фракталов имеют целую размерность Хаусдорфа—Безиковича. В связи с этим в 1987 году Мандельброт в частном сообщении предложил заменить свое предварительное определение следующим: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» [Цит. по: 142, С. 19]. Основная заслуга Мандельброта состоит в том, что он создал неевклидову геометрию негладких, изъеденных ходами и отверстиями объектов. Заметим, что большинство объектов в природе таковы, тем не менее, математика основывается на моделях, использующих представления именно о сглаженных объектах. Фрактальная геометрия хорошо вписывается в клейновскую «Эрлангенскую программу» (см. подробнее главу 2), согласно которой геометрия занимается изучением свойств объектов, инвариантных относительно некоторых непрерывных преобразовании. Фрактальная геометрия занимается изучением инвариантов групп самоаффинных преобразований, т. е. свойств, выражаемых степенными законами. Мандельброт указывает на необходимость прочного вхождения этого направления для анализа
