Единая теория поля: Философский анализ современных проблем физики элементарных частиц и космологии. Опыт синергетнческого осмысления - Минасян Л.А.
ISBN 5-4S4-G0179-X
Скачать (прямая ссылка):
Методол о ги я и сследова н ия
29
такого рода сохраняется: траектория не покидает замкнутой области и не притягивается к другим типам аттракторов. Здесь следует пояснить, что означает понятие устойчивости движения. Основная задача теории устойчивости состоит в том, чтобы разработать методы, которые позволяют судить об устойчивости частного решения той или иной системы уравнений, той или иной модели, не зная ее обшего решения. В зависимости от поставленной в исследовании задачи понятие устойчивости имеет разный смысл. В связи с этим различают виды устойчивости: относительно возмущения начальных условий (устойчивость по Ляпунову), относительно постоянно действующих возмущений; структурную устойчивость; практическую устойчивость; устойчивость по Пуанкаре; устойчивость по Жуковскому; устойчивость по Пуассону; устойчивость по Лагранжу; орбитальную устойчивость; устойчивость по части переменных и т, д. Более подробное изложение теории устойчивости может найти, к примеру, в работе [144]. Следует различать невозмущенное и возмущенное движение. В случае задач на устойчивость по Ляпунову, движение, полученное в результате рассмотрения идеализированной системы, называется невоэ-мущенньш движением. Невозмущенное движение является устойчивым по Ляпунову, если достаточно малые возмущения сколь угодно мало отклоняют возмущенное движение от невозмущенного... Если же возмущенное движение заметно отклоняется от не возмущенного даже при сколь угодно малых возмущениях, то такое движение называется неустойчивым. Различные виды устойчивости решения y = y^(t) системы
— = (приГ>ґо)
можно определить с помощью того эффекта, который вызывают возмущения параметров (например, теория устойчивости по Ляпунову определяется эффектом от малого изменения начального значения). Различаются устойчивые решения по Ляпунову, асимптотически устойчивые в области Di(V0) фазового пространства и асимптотически устойчивые в целом (вполне устойчивые). Если решение устойчиво по Ляпунову, то достаточно малые изменения начальных значений не могут1 привести к большим изменениям решения за какой угодно промежуток времени. Для асимптотически устойчивого решения эффект от конечпого изменения начальных значений в указанных границах станет сколь угодно малым после того, как пройдет достаточно большой промежуток времени. Для решения асимптотически устойчивого в целом даже сколь угодно большое изменение начальных значений в конце концов вызовет пренебрежимый эффект. В этих определениях речь шла об устойчивости решений, а не об устойчивости систем. Для исследования устойчивого движения Ляпунов предложил два
зо
Глава 1
метода, один из которых вошел в науку под названием «метод функций Ляпунова». На основании этого метода Ляпунов доказал теорему об устойчивости положения равновесия системы. Метод функций, разработанный Ляпуновым, дает возможность оценивать область притяжения системы при условии, что функция Ляпунова известна, а также позволяет оценить время переходных процессов системы. Как отмечают авторы [129], «метод функций Ляпунова предоставляет исследователю возможность наилучшим образом адаптировать его в каждой конкретной задаче путем выбора соответствующей (подходящей) функции Ляпунова. Это — одна из важнейших особенностей, благодаря которой он имеет столь широкое распространение и применяется специалистами различных областей науки от медицины и экономики до космоса и „термояда"» [129. С. 76-77]. Подчеркнем, что все решения устойчивой системы лилейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами асимптотически устойчивы в целом. В таких системах нет самоорганизации и сложных типов поведения. Иная картина возникает, если система непрерывно «зондируется внутренними флуктуациями или внешними возмущениями» [100. С. 281]. В этом случае возникает проблема выяснения устойчивости в случае нелинейной задачи. Согласно теореме о линейной устойчивости, если тривиальное решение у = 0 линеаризованной задачи (достаточно рассматривать точки покоя у — 0, так как другие точки покоя в фазо-вом пространстве всегда можно перевести в начало координат с помощью простого преобразования координат) асимптотически устойчиво (неустойчиво), то у = 0 представляет собой асимптотически устойчивое (неустойчивое) решение нелинейной задачи. Важной процедурой является установление собственных значений системы. Изменения управляющего параметра может вызывать изменение собственных значений системы. При некотором критическом значении управляющего параметра система может перейти из устойчивого режима в неустойчивый.
В контексте рассматриваемых в настоящей монографии проблем осо-бое внимание привлекает практическая устойчивость. Если возмущенное решение при допустимых начальных возмущениях (или допустимых внешних возмущениях) на заданном интервале времени отклоняется от невозмущенного решения в допустимых пределах, то такое решение называется практически устойчивым. Основываясь на современных представлениях об эволюции Вселенной, в ходе которой имели место фазовые переходы, связанные со спонтанным нарушением симметрии исходного вакуума, приводящие к перестройке ее структуры, нами разделяется точка зрения, высказанная А. Н, Филатовым, о том, что «Вселенная, по-видимому, теоретически неустойчива. Возможно, развитие идет от бифуркации к бифуркации, а между ними система практически устойчива» [144. С. 25]. А это на повестку дня выдвигает решение следующих вопросов, отмечен-
