Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
эллиптических функций sn* до спс до dnday sn2/ w. Полиномиальные решения
получаются тогда и только тогда, когда X является одним из 21 + 1
различных собственных значений
Мы показали, что эти собственные значения можно получить двумя различными
способами: либо традиционным способом, отыскивая полиномиальные решения
уравнения Ламе, как описано в работе Арскотта [7], либо решая
характеристическое уравнение (3.2). При втором способе мы определяем в
явном
238 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
виде матрицу 91' относительно о. и. базиса {/"*}. Таким образом, если
найдено некоторое собственное значение, то соответствующий собственный
вектор f?q можно выразить через коэффициенты aPnqm его разложения по
элементам базиса {/^}:
= (3-21)
m
(На практике для этих коэффициентов можно получить трехчленные
рекуррентные формулы; см. [108].) С другой стороны, традиционный подход к
решению уравнения Ламе дает трехчленные рекуррентные формулы для
коэффициентов многочлена р
Fо (sn2 w) = X b, sn2/ w. Коэффициенты aPqm представляют для
/,= 0 1
нас особый интерес, так как они определяют матричные элементы смешанного
базиса: базиса Ламе {/pnq} и канонического базиса {/^}. В литературе же,
посвященной многочленам Ламе, даются таблицы только коэффициентов bk-
При помощи наогей модели Wi можно получить соотношения, связывающие эти
коэффициенты. Пусть {АпЧ' (г)} - о. н. базис для Wi, который состоит из
собственных функций оператора S', классифицированных по типу симметрии и
числу нулей. Тогда из (3.21) вытекает, что
Kql (z) = ? aqqmg^ = ? anqmzl+m W + m)\ (I - m)!]-I/2, (3.22)
m m
т. e. эти м.э. с. б. являются, по существу, коэффициентами при zl+m,
С другой стороны,
Л"' (z) = (k')l [(а - z2) (1 - аг2)]//2 sn* w cne w dn^ ai ? 6, sn2/ w,
l=o
(3.23)
где w связано с z соотношением (3.18). Разлагая (3.23) в степенной ряд по
2 и приравнивая коэффициенты при zl+m в (3.22) и (3.23), каждый
коэффициент а(tm)п можно представить в виде конечной суммы коэффициентов bj.
С некоторыми деталями такого вычисления можно ознакомиться в [57].
Используя преобразование (3.13), полученные нами результаты можно
отобразить в Vt. Если {Л^} - о.н. базис собственных функций оператора S'
на Wi, то
fin = CElq (ч) Еыq ft) =Е СKql) = (Kql> H (k, •)), (3.24)
где г|, ф - эллиптические координаты на Sz (см. (2.63)), являет-
ся о.н. базисом собственных функций оператора S' на Vi. В фор-
3.4. Формулы разложения для решений уравнения Гельмгольца 239
муле (3.24) Еры (I) - многочлен Ламе, отвечающий тому же собственному
значению и тому же типу симметрии, что и Apql. Поскольку явная нормировка
Epi'nq и Apql фиксирована, константа с определяется из двойного
интеграла. (Интеграл в
(3.24) вычисляется, так как нам заранее известно, что он
удовлетворяет уравнению Ламе от переменных п и ф, и легко проверить, что
этот интеграл является периодической функцией ц и ф.) Соотношение (3.21)
теперь можно рассматривать как разложение произведений многочленов Ламе
по сферическим гармоникам.
Совокупность всех собственных функций (3.24) для I = = 0,1,2, ...
образует о. н. базис в L2(S2). Отображая этот базис в гильбертово
пространство решений уравнения Гельмгольца посредством (2.1), находим,
что
ХЧп w = 1 К) = Ch М Е1пЧ (") Е1п q (Р) (3-25)
в конических координатах (1.34), причем ji(z)-сферическая функция Бесселя
(см. (2.27)), a d - константа, определяемая, вообще говоря, из интеграла.
Следует заметить, что (3.24) и (3.25) можно рассматривать и как
нелинейные интегральные уравнения, которым удовлетворяют многочлены Ламе.
В связи с этим заметим, что в вычислении интеграла (5.16) в [57] имеется
ошибка. Этот интеграл следует заменить выражением (3.24).
Нашу модель Wi можно также использовать для исследования многочленов
Айнса; см. [24].
3.4. Формулы разложения для решений с разделенными переменными уравнения
Гельмгольца
Из рассуждений, проведенных в гл. 1 и 2, становится ясно, что для того,
чтобы получить разложение решения Т (g) ч4.;> (х) уравнения Гельмгольца
по собственным функциям {Ч^}, достаточно найти коэффициенты разложения (Т
(g) f*ji\ fw') в L2(52)-модели:
T(g)4f(x) = Z(T(?)/(/>, /М>Ч(tm)(х). (4.1)
Здесь мы дадим несколько наиболее простых для анализа коэффициентов
разложения в случае, когда T(g) является единичным оператором.
Матричные элементы смешанных базисов свя-
зывающие произвольную систему {/№(к)} с декартовой систе-
240 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
мой (2.32), очевидно, имеют вид
{f%\ fa!у) = (sin Y)1/2 /1л (sin у cos a, sin Y sin a, cos y). (4.2)
Кроме того, м.э. с. б., связывающие собственные функции для систем 1-4 в
табл. 14, легко получаются из соответствующих м.э. с. б. для решений
уравнения Гельмгольца (Д2 + со2)Ч*- =0, перечисленных в разд. 1.3. В
самом деле, эти м.э. с. б. принимают вид
ftV> = *(Y - Y')</f, fllY), Ki. J'< 4, (4.3)
где (f^', - соответствующий м.э. с. б., вычисленный в
разд. 1.3 при помощи модели L2(Si).
