Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Vi, обозначаемый через {fl4}, определяется уравнениями
j • jw = -i(i+1 )fiq, + Ы1)f?=
Xfiq = pf{q, XYfl4 = qfpq- • }
(Можно показать, что вырождение отсутствует, т. е. что при фиксированных
I, р, q, % не существует двух линейно независимых решений уравнений
(3.7).)
8.8. Многочлены и функции Ламе на сфере 235
В эллиптических координатах на сфере (см. (2.63)) уравнения для
собственных значений (3.1) разделяются и сводятся к обыкновенным
дифференциальным уравнениям
?}'(8)+ (*-/(/+ 1)ft2SH2?)?/(!) = О, /= 1,2, Е = тЫ>, k = bW
(3.8)
где f (т), ф) = Ei (т1)?,2(ф). Как уже было указано при обсуждении
уравнений (1.35), уравнение (3.8) является уравнением Ламе. Оно имеет 2/-
f 1 линейно независимых решений (многочлены Ламе), однозначных на S2,
причем каждое из них можно представить в виде
snsgcncgdndg/:,p(sn2g), s, с, d = 0, 1, s + с -f d -f 2p = I, (3.9)
где Fp(z)-многочлен от z порядка p. Восемь типов таких многочленов
соответствуют восьми случаям, перечисленным в табл. 15. Поскольку
кратность каждого собственного пространства равна единице, собственные
функции должны принимать вид E(r\)E(ty), где E(z) -многочлен Ламе.
До того как мы продолжим наш анализ оператора S' на ^-2{S2), исследуем
более простую модель от одной переменной спектрального разложения
оператора S'. Возьмем (2/+ ^-мерное пространство Wi многочленов g(z) от
комплексной переменной 2, имеющих порядок не выше 21. Введем скалярное
произведение (•, •) на Wi, такое, что
(zl~m, zl~n) = (/ - т)\(t -f т)\ 6тп, т, n~l,l- 1, ..., -(3.10)
или - в развернутом виде -
со
(2/+ 1)!(gi, ?2) = я-1 ^dxd*/(l +\z?)~2l~2gi{z)g2{z) =
- CO
00 2л
= rdr ^ (1 + г*)~21~2gi (ге'ф) (ге'ф) (3.11)
о о
для gi е Wi, причем z = х-\- ly = relf, а областью интегрирования
является вся комплексная плоскость. Пространство Wi инвариантно
относительно операторов Д, /2, h, определяемых соотношениями
/l = -y(l-22)_rf--//z, /2=я j(1+22)jL_/Z)
и удовлетворяющих соотношениям коммутирования [//, /*] = ==2e/*p^p
алгебры so(3). Кроме того, для этой модели J-J =
р
236 Г л. 3. Уравнения 1'ельмгольца и Лапласа с тремя переменными
= -/(/+1)- Каждой функции g е Wi соответствует функция G g Vi, которую мы
находим из соотношений
G(k) = (g,tf(k, •)) = /'(?),
Я(k, z) = (ll)-l[(2l+l)/4nf2[k,(l-z2)/2+ik2(l+z2)/2+k3z]1,
где keS2, Оператор Г из Wi в Vi унитарен. В самом деле, из
(3.10) следует, что
J+m
[(/ + m)l (/ _ m)!] >/* ' m = l, I- \, . - I, (3.14)
является о. н. базисом для Wp Поскольку
Н(к,г)= S Y?(B,*)g-l(z) (3.15)
m=-l
(теоретико-групповое доказательство этого равенства см. в
[37]), для k = (sin 0 cos ф, sin 0 sin ф, cos 0) мы имеем
''(*У-гГ(в.ф)=6 (з.1б)
где сферические гармоники Yf образуют о. н. базис пространства Vp Из
(2.12) и (2.22) следует, что операторы (3.12), действуя на Wp индуцируют
операторы (2.6) на Vp
JlG(k) = I'(Jlg(z)), j= 1,2,3. (3.17)
Теперь рассмотрим задачу на собственные значения для S' на Wp которая
имеет вид (/? + 6/2) g (z) = lg (z). Мы находим
S' = ((\-k)z2-(\+k))((\+k)z2-(\-k)]-^ +
+ 2(21 - l)z[l + k2 - z2(l - k2)]-^ +
+ 21 [I + k2 + (l - k2)(2l- l)z2], k = b'i2.
Если положить g(z) = (k')'[(a - z2) (1 - az2)]l/2S (w), где k' = (1 -
k2)i/2, a = (1 + k)/(l - k), и произвести замену переменной
sn (w, k) = - i (1 + a)z [(a - z2)( 1 - az2)]~1/2, (3.18)
то наше уравнение для собственных значений примет вид уравнения Ламе:
+ Я ~ W + !)sn2(""• k)\S(w) = 0. (3.19)
Из (3.9) следует, что 21 + 1 многочленов Ламе, являющихся
решениями этого уравнения, являются в точности решениями.
3.3. Многочлены и функции Ламе на сфере 237
Таблица 16
КЛАССЫ СИММЕТРИИ МНОГОЧЛЕНОВ ЛАМЕ
sn* w спс w dnd wFp (sn2 w), s, с, d = 0,1 s + с + d + 2p = /
(р. я) S с d Размерность -V
/ четное +, + 0 0 0 1 +//2
+" - 1 1 0 //2
-> + 0 1 1 т
'" г 1 0 1 т
/ нечетное +" + 1 0 0 (1 + DI2
+, - 0 1 0 (1 + DI2
-1 + 1 1 1 (-1+0/2
-> - 0 0 1 (1 + 1)12
которые соответствуют элементам g(z)e Wt. Выясним, каким образом
разбиение многочленов Ламе на восемь типов будет представлено в нашей
новой модели. Из (3.4), (3.14) и (3.16) следует, что X и XY на Wt
принимают вид
Xg (г) = z"g (z~l), XYg (z) = (- 1 )lg(- z) (3.20) для g <= Wt.
Так же как и при рассмотрении собственных пространств пространства Vi
(см. (3.5), (3.6)), можно потребовать, чтобы собственные функции g(z) =
{k')l[{a - z2) (1 - az2)]l/23?(w) тоже удовлетворяли уравнениям Xg = pg,
XYg = qg, p,q = ± 1. Используя эти соотношения совместно с (3.9) и табл.
15, мы получаем соотношения, связывающие показатели s, с, d в (3.9) и
собственные значения р, q, перечисленные в табл. 16. Как показано в [7,
гл. 9], многочлены Ламе в каждом классе симметрии можно снабдить
целочисленным индексом п = 0, 1, ..., tipiq ~ 1, причем п - это число
нулей многочлена в интервале 0 < до < <gK{k). Чтобы получить рекуррентные
соотношения для коэффициентов многочлена Ap(sn2tiy), следует подставить в
(3.19) выражения (3.9) и приравнять коэффициенты при независимых мономах
