Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
В случае пространства Минковского пространственноподобная поверхность х° = const является поверхностью Коши, но пространственноподобная поверхность 2, лежащая внутри светового конуса прошлого, таковой не является. Это связано с тем, что нормали к Z (временноподобные векторы) пересекаются в вершине конуса (рис. 7.7). Пример решения, где отсутствуют поверхности Коши — решение в виде
147
Рис. 7.6. Область Коши D+ и горизонт Коши Н*
Рис. 7.7. Пример поверхности Коши
плоских волн, полученное Пересом:
ds2 = Fdu2 + dudv - dy2 - dz2.
Доказательство было проведено Пенроузом [100].
Горизонт Киллинга — поверхность, на которой временноподобное поле векторов Киллинга становится изотропным. С временноподобной кил* линговой конгруэнцией можно связать жесткую систему отсчета, так как тензор скоростей деформации для нее равен нулю. Обычно при этом рассматриваются островные системы, и берется та киллингова конгруэнция, которая вплоть до пространственной бесконечности временноподобна. Тогда можно говорить о наблюдателях (и частицах), покоящихся относительно бесконечно удаленного наблюдателя. Ясно, что на горизонте Киллинга состояние покоя в этой системе становится невозможно (такой "покой" свелся бы к движению со скоростью света). Тогда горизонт Киллинга называют также пределом стационарности. Так как любой объект, находящийся на горизонте Киллинга (или под этим горизонтом) # движется относительно бесконечно удаленного наблюдателя по крайней мере со скоростью света, то испускаемое этим объетом излучение претерпевает с точки зрения такого наблюдателя бесконечное красное смещение (отсюда еще один термин: поверхность бесконечного красного смещения). Заметим, что там, где горизонт Киллинга — временноподобная поверхность, частицы могут пересекать ее в обоих направлениях. Напротив, горизонт событий "работает" как односторонняя мембрана — частицы (и даже свет) могут пересекать его только в одном направлении. В принципе это свойство горизонта событий можно взять за его определение, т.е. определить горизонт событий как предельную поверхность, находясь вблизи которой частицу еще могут "уйти" на бесконечность.
Познакомимся с некоторыми решениями уравнений Эйнштейна, в которых встречаются различные типы горизонтов.
Решение Шварцшильда. Это решение описывает пустое пространство-время вне сферически симметричного распределения вещества. В отличие от пространства Минковского его нельзя покрыть одной координатной сеткой. В случае, когда решение Шварцшильда рассматривается 148
I*
S* !+
Рис. 7.8. Диаграмма Пенроуза для решения Шварцшильда:
изотропные линии имеют наклон ± Я/2; L — мировая линия наблюдателя, попавшего под горизонт событий г = г© и обязательно попадающего также в сингулярность будущего ввиду ее пространственно-подобности
Рис. 7.9. Диаграмма Пенроуза для решения Райссне-ра—Нордстрема (при е2 < т2) :
1 — горизонт Коши; 2 — горизонт событий; 3 — мировая линия наблюдателя, путешествующего из одной вселенной в другую; линии г =0—сингулярности
как решение для пустого пространства не только для областей, больших некоторого радиуса r0 = 2т (его называют гравитационным радиусом), но и для областей г < г0, получается решение, описывающее пространство-время с сингулярностью в точке г * 0. Такое максимальное расширение решения Шварцшильда изображено на диаграмме Пенроуза (рис. 7.8). Из рисунка видно, что имеются две вселенные и две сингулярности. Ситуация аналогична той, которая получается в системе отсчета ускоренного наблюдателя в пространстве Минковского (см. рис. 7.4). Сингулярность носит пространственноподобный характер. Горизонт событий определяется уравнением г *= г0. Наблюдатель, попавший под горизонт событий, не может вернуться назад и обречен на падение в сингулярность.
Решение Райсснера—Нордстрема. Это решение описывает пространство-время вне сферически-симметричного электрически заряженного тела. Оно статическое и характеризуется двумя параметрами: зарядом* е и массой т. Если е2 > т2, то метрика неособенна везде, за исключением точки г = 0, и полученное решение описывает случай "голой сингулярности", т.е. черную дыру без горизонта (см. также § 7.2). Конечно, как и в случае решения Шварцшильда, здесь имеется в виду решение, описывающее пространство-время без распределенных источников. В случае е2 < т2 в решении Райсснера—Нордстрема имеется горизонт Коши и горизонт событий (рис. 7.9). Диаграмма Пенроуза для этого решения неограниченно продолжается вверх и вниз, т.е. имеется бесконечный набор областей If Uf IIL В отличие от шварцшильдовской сингулярности, сингулярность в решении Райсснера—Нордстрема временно-
149
подобна. Это открывает богатые возможности для "путешествия" в иные миры. Наблюдатель может попасть под горизонт событий, благополучно пролететь мимо сингулярности и "вынырнуть" в другой вселенной. К несчастью, сообщить о своем подвиге он нам не сумеет, так как свойство односторонней мембраны для горизонта событий остается в силе и здесь. Как видно из рисунка, внешний горизонт — это горизонт событий, а внутренний — горизонт Коши. Для данного решения поверхность бесконечного красного смещения совпадает с горизонтом событий.
