Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(3.39) следует тогда понимать как объединение энергии-импульса негра витацион-ных источников тяготения и собственно гравитационной части энергии-импульса,
которая сводится к нелинейной по Of части консервативного тензора Эйнштейна (его плотности). Такой подход выглядит особенно привлекательно, если (для
островной системы) можно придать смысл плоскому фону (т/*^) .
Псевдотензор Папапетру удобен для определения интегральных значений энергии (массы), импульса, момента* импульса и мультипольных моментов островных систем, особенно если метрика записана в гармонических координатах. Для метрик в форме Керра—Шилда здесь справедливо замечание, сделанное выше для псевдо-тензора LLIMM. Любопытно, что псевдотензор Папапетру не приводит к парадоксу Бауэра, если потребовать, чтобы асимптотика плоской метрики совпадала с асимптотикой псевдоримановой (физической) метрики; это означает использование для метрики Минковского, вообще говоря, недекартовых координат. Тогда и производные в выражении (3.39) следует брать не частные, но ковариантные относительно метрики Минковского. Ясно, что псевдотензор Папапетру можно представить и с помощью соответствующего суперпотенциала:
/ в[0о]. _L IfVnar + - yVT - OfprVaa] іГ (3.40'
2К '
Если при вычислении энергии и других величин с помощью псевдотензора Папапетру взять координаты, асимптотически декартовы относительно псевдоримановой метрики, но метрику Минковского взять не в асимптотически декартовой форме, то возникнет парадокс типа Бауэра.
Этот парадокс возникает и при использовании в теореме Нётер вместо метрического тензора четверки ортонормированных векторов (тетрады), если ориентировать эти векторы по координатным линиям сферической системы, хотя бы в вычислениях даже были использованы декартовы координаты (чтобы получить правильные результаты, требуется асимптотически декартова калибровка тетрады) . Кроме парадокса Бауэра известны примеры (разобранные Шредингером в 1918 г.), которые накладывают ограничения на применимость псевдотензоров в конкретных вычислениях.
В 1958 г. Мёллер обратился к анализу требований, которым должны удовлетворять псевдотензорЫ энергии-импульса, чтобы им можно было приписывать разумный физический смысл [71, 72]. Тем самым закончился этап развития ОТО, на протяжении которого практически отсутствовала всякая критика определения энергии в этой теории. Такая критика имела место в течение нескольких лет в самом начале существования ОТО (парадокс Бауэра, примеры Шрёдингера, ответы на них Эйнштейна — до 1920 г.), но затем наступил период получения точных решений уравнений Эйнштейна, анализа гравитационных эффектов, предсказываемых ОТО, и ее приложений к астрофизике, космологии и другим областям науки, так что о
88
дефектах энергии-импульса на время почти совсем забыли. Мёллер, стремясь критически осмыслить самые основания ОТО, начал с разбора принципа эквивалентности, свойств инертной и тяготеющей массы, роли ускоренных систем отсчета и, наконец, перешел к проблеме энергии. Он сформулировал свои требования к псевдотензорам энергии-импульса, которые приведем здесь в слегка модифицированном виде [77].
I. Канонический псевдотензор 0jj в произвольной мировой точке сЛ должен быть аффинной тензорной плотностью веса +1, алгебраически зависящей от полевых функций и их первых и вторых производных в (Л.
II. Псевдотензор 00 должен удовлетворять слабому аффинному (т.е. использующему частную дивергенцию) закону сохранения др а = 0.
NI. Компоненты Oq (плотность энергии и ее потока) должны преобразоваться как плотность 4-мерного контравариантного вектора при чисто пространственных
преобразованиях координат Xet = х';(х ), х'° ¦ х°.
IV. При линейных преобразованиях координат интегральный "вектор" энергии-
импульса Pa должен преобразоваться как свободный 4-вектор, причем
он не должен изменяться при преобразованиях, переходящих на больших расстояниях в тождественные, а в остальном произвольных.
V. В системе центра масс "вектор" энергии-импульса должен иметь вид (Pa) = Ш, О, О, 0).
Отличие от первоначальной формулировки Мёллера сводится к тому, что в требовании Il речь идет о слабом законе сохранения, а не сильном и что требование V не было выделено Меллером в отдельный пункт, хотя он и выдвигал его. Первые два требования автоматически выполняются на основании теоремы Нетер. Требование ill обеспечивает отсутствие парадокса Бауэра, так как теперь (для величин, удовлетворяющих требованиям Мёллера) интегральная энергия Pq для любого (в том числе конечного) объема инвариантна относительно чисто пространственных преобразований (не требуется даже ограничиваться островными системами!). Лишь требования IV и V предполагают использование островных моделей. Что касается неизменности Pa при асимптотически тождественных, а в конечной области произвольных преобразованиях пространственно-временных координат (требование IV, последняя его часть), то такое предположение просто дополняет первую часть того же требования IV, учитывая неопределенность понятия линейных преобразований (точнее, преобразований Лоренца) внутри островной системы, где пространство-время не плоское. Можно показать, что требование Ill автоматически выполняется для псевдотензора, следующего из теоремы Нетер, если гравитационный лагранжиан — скалярная плотность относительно произвольных преобразований координат. Поэтому существование парадокса Бауэра для энергии, определенной с помощью псевдотензора Эйнштейна, обусловлено нековариантностью эйнштейновского лагранжиана. В свою очередь, другие аналоги парадокса Бауэра имеют причиной нековариантность лагранжиана относительно соответствующих калибровочных преобразований (например, локальных поворотов тетрадных векторов), когда лагранжиан получается из общековариантного {3.25) отбрасыванием некоторого дивергенциального члена.
