Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
ется с-числом и построена только из символов бду, в общем случае можно
V2
(6.7.35)
Тогда
п
pV = I d3qqti(al+)a[ ) + 4+>4 }) Sz = 2 ^ d3q(a^)a<^ — ).
(6.7.37)
(6.7.38)
[^v (P)1Pp]-= — рт* (P).
(6.7.38)
у™ (q)[j/nv} (р), у{~)ае(q)]- — у у(+)(q)(p), y'->(q)]-= = — 2г/^(р)б(р —q).
(6.7.39)
Полагая
[у$ (р), УНше (q)l- = б (р — q),
(6.7.40)
находим
Если предположить, естественным образом, что величина Av^ ®8 явля-
224
написать
А „V“* = а (6й“б/ + 6ne6v“) + P6nv6ae. (6.7.42)
Подстановка этой конструкции в (6.7.41) непосредственно дает
а = — P= — 1, (6.7.43)
так что окончательно
(P). y(-)“8(q)]- = (6^v6“e - б^бу* - 6ne6v“) б (р - q) (6.7.44)
В частности,
І!/ЇЇ(Р),У(-ЧЧ)]- = 26^б(р-Ч), (6.7.45)
№+) (P), J/(-)me(q)] - = 2бИ8б(р - q) (6.7.46)
[у(+) (Р),У(_)(Ч)]- = 86(р — q), (6.7.47)
Учитывая эти соотношения, нетрудно на основании (6.7.26) найти пере-становочные соотношения для операторов а^:
[а?* (P), аН“е (q)] _ = - (6^6ve + V<W (Р - q). (6.7.48)
Полезно сравнить различные варианты перестановочных соотношений, полученных разными авторами. Гупта (1952) получил соотношения (6.7.48), исходя из дополнительного предположения о независимости у от г/ixv (связь между этими величинами накладывалась лишь в смысле квантового среднего). Нужно сказать, что это последнее предположение Гуп-ты на основании исследований Лиас (1957) приводит к затруднениям в определении окончательного лагранжиана гравитационного поля при учете высших приближений. Пийр (1957) получил, отказавшись от этого требования Гупты, перестановочные соотношения (6.7.44), исходя, однако, из нековариантного лагранжиана (3.1.3), которым пользовался и Гупта. Интересно отметить, что в случае реальных (физических) гравитонов величины y^v и CiilV совпадают; совпадают также и соответствующие перестановочные соотношения, так что противоречия между выводами разных авторов не возникает.
Введем обозначение
6|Av6©8 6|AG)6ve 6jie6v(D =:= 6|lv, ©Є. (6.7.49)
Тогда, суммируя полученные результаты и распространяя их, в соответствии с выводами, сделанными для скалярного и электромагнитного полей в предыдущих параграфах, на исходные потенциалы Уну(х), зацишем
ІУи-v (р)?Уюа (?)] = 6|AV, (оеб(р q), (6.7.50)
[Уцу(%)і 2/we (у) ]— = (Ое^о у)ч (6.7.51)
\У\Ю (#), Утг (у)]— = IbiIV, ыеР0 (^ У), (6.7.52)
[^nv (я?) ? У©е(^)]— = ^6jav, со&Оо(^— У)» (6.7.53)
причем
DV(X) = - D™ (-X)= 5 (dq)е<ъ«вв(д*)0(- ffo) =
= 7?? 5 W е“іва*“б ^2)0 («») • (6-7-54>
Переходя к введению индефинитной метрики, мы покажем сначала необходимость этой процедуры, распространяя пример, приведенный в моно-
15 II. В. Мицкевич 225
графин Боголюбова и Ширкова (1957), на случай гравитации. Именно, замечая, что
бої, ш = ~h 1? (6.7.55)
мы можем записать
(г/w} (*), уїї (у)]- = toV(х — у)=
= - $ (dq) e-^a-va)б (g2) 0 (до). (6.7.56)
С точки зрения среднего по состоянию вакуума тот же коммутатор равен
Фо+О/оҐ (я), ?/м * (г/)]_Фо = Фо+г/оі* (%) UoV (г/)Ф'о. (6.7.57)
Умножая последнее равенство на произведение h(x)h(y) вещественных Функций соответствующих координат и интегрируя в бесконечных пределах по этим координатам, получим заведомо положительную величину:
Ф'0+ $ Уо1} (x)h(x) (dx) 5 yoV (y)fi(y) (dy)Ф0 > 0 (6.7.58)
[вспомним условие вещественности (6.7.5)]. С другой стороны, из выражения (6.7.56) следует явно отрицательная величина того же самого среднего значения (мы считаем, что амплитуда состояния вакуума нормирована на 1):
5 fooi-)(*), г/м’ (y)]-h(x)h(y) (dx) (dy) =
= — (*l)W№o) $ (dx)e-^ah(x) $ (dy)eW*h(у) =
= - -Щ? S (dq)6(q2) 0 (go) I 5 (dx) e-^h(x)'2 < 0. (6.7.59)
Такое противоречие может быть выражено и следующим образом: ввиду (6.7.55) имеет место коммутационное соотношение
[г/оі_) (q), г/оі+) (р) ]- = — б (р - Ч) • (6.7.60)
Если сравнить его с коммутационными соотношениями, например, для компоненты «22» того же потенциала или для потенциала скалярного поля (6.3.27) и далее, то видно, что в (6.7.60) роль оператора рождения частиц играют отрицательно-частотные компоненты, а роль оператора уничтожения — положительно-частотные, в противоположность только что упомянутым случаям.
Оба полученных противоречия объясняются, как и в точно таком же случае для электромагнитного поля, учетом нефизических гравитонов, которые должны быть соответствующим образом отброшены. Если в электродинамике нефизическими оказывались лишь два типа фотонов — временные и продольные, то в случае гравитации нефизическими будут временно-временные, продольно-продольные, продольно-временные, продольно-поперечные, поперечно-временные гравитоны. И в той, и в другой теории единственными частицами, имеющими непосредственный физи ческий смысл (т. е. существующими в виде реальных частиц), могут быть лишь чисто поперечные кванты. Это заключение следует из условия типа Лоренца (в гравитации таким условием является условие Гильберта). Перейдем к устранению этих нефизических состояний по методу индефинитной метрики Гупты — Блейлера.