Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(2я)3 2Уро?о
= - * 5^<^(+)ше(^%) = 0. (6.7.12)
2#о
Аналогично, в силу (6.7.2),
J dvyi+^y^],, = 0. (6.7.13)
Благодаря этим соотношениям интеграл от квазитензора (6.7.8) значительно упрощается; а именно, нам оказывается достаточным рассматривать в подынтегральном выражении конструкцию
tpa-* — (y'biWp6+-^-^,p) . (6.7.14)
Так как верхний индекс следует положить при этом равным нулю, мы получим для 4-вектора энергии-импульса гравитационного поля просто
Pp = 1 $ (PqqJl у<+)™ Cq) yts (q) - у 2/С+) (q) у(~) (q) J. (6.7.15)
221
Переходя от энергии-импульса гравитационного поля к спину, заме-
чаем, что в интеграле ^ Mpt dv априори не обязаны исчезать члены вида
у(+)у(+) или у^уі-) хотя линейная часть плотности спина, как всегда, выпадает. Поэтому целесообразно сначала проанализировать поведение произведений потенциалов одинаковой частотности; в интеграле плотности обобщенного спина (3.7.5), которую удобно представить с учетом условия гармоничности в виде
мГ= ^(rSktu - r^gtia - їГ.е) (6-7-16>
пли в форме разложения
ОСТ 1/1 I .Ot1T T1Ot \
Mp = -T=I — У'“6рт — — У’х 6р“ + У Si —у P + Уах,р ) +
У2>Л 2 2 )
I 1 .1
+ у уаг’ау«>г6цх - у УЫЕ-тУо,еЬяа + УоЬУаа-х — УоеУах’а + у УахУ,оЬ^ —
— у УааУ,обрх + УааУІ,о — УахУІ,а, (6.7.17)
эти члены можно записать как
\ M^ax dv = ±i\~ е±2^о*»Г JL дау(±)*г (q)j/it)(-q)6pT-
* J 2q0 L Z
— у tfT2/(±)“e(q) Vw (— q) 6(3“ + qtytt™(q) (— q) —
— даушах(ч)у{^ (— q) + y Qoyi^(Ч)У{±)ах(— tf)6p“ —
—у (q) УШаа (— q) V + я°у(Ґ (q) y{±)aa (— q) -
-rf)a(q)^(-q)]- (6.7.18)
Заметив, что
S Й ? (ч) s'-" (- ч) ’
—OO -j-OO
52 S S S e±2i9J*°'дау(±)и,г (q) (“ q)’ (6-7л9)
—OO
получим соотношение
^ е±2і9о*°д«г/(±)“8(q) гД? (— q) = 4б0“, (6.7.20)
2 до
где Л — некоторая функция времени #°. Аналогичное вычисление показывает, что имеет место равенство
5 d3qe±2ii<iX°y(±')aa(q) г/а±)Р(— q)= J d3qe±^^y{±)ob(q)y<±)a (— q), g ? ^
означающее симметрию этого выражения по а и p.
222
Этот анализ непосредственно приводит к заключению, что в антисим-метризованном выражении
sw = 5 [M0Jfi** — Mffi*] dv (6.7.22)
произведения величин одинаковой частотности типа (6.7.18) исчезают, т. е. величина (6.7.22) не зависит от времени и может рассматриваться как интеграл движения гравитационного поля наравне с 4-вектором энергии-импульса (6.7.15). Простой подсчет дает тогда выражение
SM] = і J d*q [гД+)І (q) yH* (q) - y<+){ (q) yH»i (q)], (6.7.23)
где мы опустили слагаемое
-L [qi (yWyW - уЮ’уНоо) _ qi(yW>yfv - y™* yH*0)], (6.7.24)
^qo
— члены, содержащие нефизические временные компоненты гравитационных потенциалов, исключаемые по методу индефинитной метрики Гупты — Блейлера, как мы увидим в дальнейшем.
Пока ни одна из рассматриваемых величин не является диагональной в том смысле, который обсуждался в § 6.4, посвященном квантованию электромагнитного поля. Мы попытаемся достигнуть здесь такой диаго-нальности. Для этого введем новые переменные:
1 + і 1
y(±)iIV _ а(±)м*---^ (6.7.25)
у(±) _ _ ia{±)^
причем
1 — і
a(±)nv = уШ w------------------yi±) 6^v,
А
(6.7.26)
а<±) = іуШ.
Тогда 4-вектор энергии-импульса принимает вид
Pp = I С (PggpdWiweW (6 7 27)
2 J
а интегральный спин — вид
SWl = і J &q [йа+); аН°* — а?*аН«1Ъ (6.7.28)
Как видно, преобразование (6.7.25) диагонализирует энергию и импульс. В ходе дальнейшего анализа полезно, предвосхищая выводы, к которым мы придем впоследствии, отметить, что при ориентации вектора q вдоль оси z физический смысл имеют лишь компоненты гравитационного потенциала
a12(q)=fc2(q) (6.7.29)
an (q) = - a*(q) = bi (q). (6.7.30)
Это следует из метода индефинитной метрики. Оставляя в выражениях для динамических переменных лишь физические компоненты 6, получаем
и
Pp = 5 (ьЫ~]+г>2+) ьГ5) (6.7.31)
S2 = і ^d3q [ (a(+)ii — а<№) аН« — a<+)12 (a(->“ — яН22) ], (6.7.32)
223
т. е.
Sz = 2i\ <**g(bi+v2) - ь^ьі ’).
(6.7.33)
Мы приняли здесь, как обычно, SM = Sz.
(6.7.34)
Сравним полученные выражения с соответствующими выражениями для динамических переменных электромагнитного поля— (6.4.15) и
(6.4.11). Мы видим, что различие состоит лишь в том, что интегральный спин гравитационного поля содержит дополнительный множитель 2, отражающий равенство проекции спина гравитона на направление движения 2 (в единицах /г), в отличие от величины проекции 1 (в тех же единицах) в случае электромагнитного поля. Ввиду такого близкого сходства обеих теорий мы можем просто скопировать методику дальнейшей диагонализации спина, применяемую в электродинамике, взяв
Мы видим отсюда, что комбинации и следует интерпрети-
ровать как числа частиц гравитонов, обладающих импульсом др и, соответственно, величинами проекции спина на ось z, равными +2 и —2.
Перейдем теперь к отысканию перестановочных соотношений для гравитационных потенциалов. Для этого перепишем коммутатор (6.7.9) в виде
Подставляя сюда выражение 4-вектора энергии-импульса гравитационного поля (6.7.15) (мы рассматриваем сейчас общий случай, когда учитываются не только физические гравитоны, но и нефизические, играющие важную роль в виртуальных процессах) и учитывая выполнение равенства (6.7.38) при любых значениях импульса, получаем
