Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
/I 1
-f- куш8у°\ руа$ fj • у~2~ бщобгабтрбР*' — батбрюба^беР
3 1 1
— — багбасбрРбт’' + — б^Ьанба^------------у 6ат6ра6ер6<оЧ +
0 о 4
1 I 1
+ — 6ap6at6aP68r' — — барбоабгтбРЧ — — баабтабрЧбгР —
4 о с1
- у биабеабрЧбтр) + О (к2); (6. 6. 32)
I T
tgaT = — (— bvxy, мУ, о — 2гЛ\ аУк v + 2бтРyXv, оУ>л, р) +
ё
+ (б^vy, »Jf, V + 2у'\ цух, V - 26HVv1 IiyjLV1 р) бат + О (А); (6.6.33)
О
Mga<« = A-I (^vtу* v _ gaVyli v) + yavyl^ v _ yvxyl v _ +
I I
H- б^г/р, Vyap-- уPxVap, хбот + — УрХУрх,хЬаа. (6.6. 34)
д 4
G точки зрения выводов, полученных при анализе проблемы энергии, от выбора конкретного подхода к описанию гравитационного поля критически зависят получаемые физические результаты. Однако в процедуре квантования, когда перестановочные соотношения записываются в приближении свободных полей (представление взаимодействия), выбор в качестве субпотенциалов гравитационного поля метрического тензора или у-матриц дает один и тот же результат, так как интегрирование всегда проводится по бесконечной области, а поле лишено сингулярностей. Некоторые соображения относительно указанной альтернативы при квантовании гравитационного поля, а также других возможностей см. в § 6.8, а также в начале § 6.7.
219
6.7. Квантование гравитационного поля. Спин гравитона
Если исходить из метрического тензора как наиболее элементарной величины, представляющей гравитацию, то квантованию должны подвергаться десять независимых компонент этого тензора. Такое квантование, как известно, наиболее подробно провел Гупта (1952), который, однако, исходил из нековариантного лагранжиана (3.1.3). Другая попытка квантования гравитации была предпринята нами (1958), когда за основу брался ковариантный лагранжиан (3.1.1), пропорциональный плотности скалярной кривизны. Именно для этого лагранжиана мы в первую очередь вычислили выражения для динамических переменных в § 3.7 (их разложения по степеням гравитационной постоянной см. в § 6.6).
Исследования фермионных полей, а также некоторые соображения простоты показывают, что более адекватным было бы взять в качестве наиболее элементарного представителя гравитационного поля не метрический тензор, а тетрады или, лучше, матрицы Дирака в зоммерфельдов-ском представлении (см. § 8.6; обсуждение свойств динамических переменных матричного происхождения в § 3.8, а также анализ свойств фермионных полей в § 4.5-4.8). Здесь мы начнем, однако, изложение с подхода, исходящего из метрического тензора в качестве наиболее элементарной величины, отложив до § 6.8 обсуждение других подходов к квантованию гравитационного поля.
Исходя, как обычно, из представления взаимодействия, мы относим нелинейность гравитационного поля к части взаимодействия, оставляя поэтому в качестве главных уравнений поля уравнения вида (3.2.32), причем однородные;
Поэтому в фурье-представлении 4-импульс, по которому мы разлагаем гравитационный потенциал, должен удовлетворять соотношению
Как обычно, мы представляем потенциал у p,v в виде суммы положительно-и отрицательно-частотных компонент:
и, в силу (6.7.2), можем, как и в случае скалярного и электромагнитного полей, записать:
Для вещественности потенциалов у^ необходимо и достаточно выполнение условия
Как и в случае электродинамики, использование метода индефинитной метрики видоизменяет последние условия, и мы пересмотрим их несколько позднее.
Условие гармоничности координат де Дондера — Фока в случае слабого поля переходит в условие Гильберта
отличающееся тем достоинством, что оно не ограничивает общность рассмотрения, так как всегда и сразу во всем пространстве-времени можно с помощью бесконечно малых преобразований координат (не нарушающих
? Уну = 0.
(6.7.1)
qaq<* = 0.
(6.7.2)
УViV (*) = У$ (х) + yU (X),
(6.7.3)
(6.7.4)
(г$* (q))* = ^ (q).
(6.7.5)
Vtv1V= о,
(6.7.6)
220
условия малости величин ^jiv) удовлетворить условию (6.7.6). В импульсном представлении это условие принимает вид
5“J$(q) = 0. (6.7.7)
Позднее мы увидим, что в квантовой теории ему можно придать более слабую форму.
С учетом уравнений поля (6.7.1) и условия (6.7.6) низшие приближения для квазитензора энергии-импульса гравитационного поля (3.7.11) имеют вид
__111
tf»“ =----Ufi 4----yvay,v,e, — — У^Уш% — Уох,рг/а,т —
2 У2х 2 2
I I1 (I 1
— -J У’аУ,P + ~2 У^У,™ — -g- У^У,* —
I 1 \
— — у™'°уы,0 — Y У^Ум.в) • (6.7.8)
Для того чтобы при квантовании гравитационного поля можно было воспользоваться удобными соотношениями
[Af (k), Рр]_ = =F kdS (к), (6.7.9)
мы должны проинтегрировать по 3-объему выражение (6.7.8). При таком интегрировании полезно учесть следующие обстоятельства. Прежде всего
\ dvyffi* = ± і (2 л)3/2 \ 4S- 6 (q) q*e^*°y$ (q) = 0, (6.7.10)
І2д0
так как при q = 0, в силу (6.7.2), также до = 0. Аналогично,
$ dvy$]a,р = 0. (6.7.11)
Поэтому член, линейный ПО Z/JXV в (6.7.8), можно отбросить. Кроме того, условие Гильберта (6.7.7) дает
5 dvyW^y^e --------- -- 5 dvd3Pf Я еЦРа-да)ха деу(+)тг (р) (q) _
