Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
+ ~2 УорУрі v 4“ “g" УУ,\*$чp Уа^У<*$, р<^р УУчр, її yvpy,v> +
1111 I
+ -^r УчаУор, H + -TT УорУч, P* 3" УУ,Р&№ + — 2/ap2/ap, p6nv + -Г УУ[ІЧ, P + .
2 2 8 4 4
I I I \ * / I
+ y»vy,p — Y yvaycv, p — Y У<”У*. p J + fc3\ “ 32 yyy^w +
I I IqI
4“ — УУ^Уар, vSjxp + ?/a^afl2/>v6p.p 7“ Уа^У$оУ<*, vSjip + — УУцрУ,ч 4”
8 lo 4 о
Ill I
+ у У°чУрхУ° V — — У У У,+ у УУ^Уа р, i*6vP + — УарУарУ,цбуР —
I 111
— -T- Уа(,УЬ°У*, Ap + — УУурУ.ц + — г/г/г/vp, ц — — УчрУа*Уаї, ц —
4 8 16 4
I 111
— Ua^yaMvpt [і у УУ»аУор, р. — — ууGpyvi ц — — Уч°У(зрУ,\к +
8 4 4 4
IJ 11
+ у УXaUavyI и + — УрхУхаУм, H + у УOvVpxУ%, ц + — УУУ,рбцу —
1111
— -3- УУарУар, рбцу — — ЛарУ.рбцу + — уарур<ту? рбцу — — УУцгУ.р —
8 16 4 8
II I 1
— УУУ^, Р + — УцгЛаЗ, P + у У“РУарУ^, Р + — УУц°Уаг, р +
III 1
+ у у ovy IP + yovyfy,р — у vsyo^vl р ~ у у SySy о», P —
— у VonVvxVx, р) + о (?4), (6.6.18)
Гр,у = к ^ — yjV— У,[і6vX + — У.рб^бцу + у S/p., v +
“Н у S/v, р. — p®^p) Н“ ^ Уа^У&$> v6^ + у У^yо, V
Т" Уа^Уа$, р.бу*' + — Vv5Vo, р. + — Уа®У<*$, p6Xp8p,v + — У\юУ,рЬкр
4 2 4 4
1 11 I ^
УV5У0^'р 2" Vayt^yk'р" 4" ?/хріу,р6цл? “Ь у У%РУ№> р j “Ь
/I I 1
+ A3 ^ — — Уа^У&оУа> vbn% + у УхаУо\іУ%х, v — Уа^У$оУа, p,6vX +
+ 4“ УSyOvVxk, л + 4- J/afy0a2/a, р6Хрб^ + -j- ^v?/afya|3, Р6Хр +
2 4 4
11 I
+ -4- Vv0VovV, Р6яр — у Ух°Уо»УІ, рб^Р — у VvxVxqVoр, Р6Хр —
11 1
— -TT УапУ^Ух, рбХр — — ^xpJZaPyaP, pfinv — — У*>У^У,р +
2 4 4
+ у- УxpJZnffJZav1 P + у y^yavyl, р) + О (Л4), (6.6.19)
ГД = — у (&У,ц Ч- А2УаРУар, и + к3УхаУа%УХх ц +
+ &у^урау<*уха, ц + о (ft5)). (6.6.20)
В отличие от других динамических переменных, биспин представляет-су в виде конечной суммы:
NgJp= (2б*рбя“ - б«Рб^ - б“*баР) +
Urt
216
Точное выражение для обобщенного спина можно записать в виде (5.6.14):
Mga = уг (2gT(°ra® + SaagTV,v gaTr<jG)), (6.6.22)
Нґ
откуда
rat
шеа к
= T (~ 6<jCtytv'v ~ ь^у%а> р + Y у> “6a“6(,T + рб'р ~
— Y у. шдт“бвг“ + г/°%) +; A0 ( UefiV* P ~ УТРУ“ P + 6TfWva,p -
I 1
- Ь^Уп\Г, P + Y fiaPSa^vJ/>‘v, р - Y б^ба^г/Г Э -
—j JzeeJ/, шбстг+Y гЛ“г/, »баа) + * {у^ууоу™, р — у^у^у™, р +
і
+ Ь'ЪуWmyva, р - 6atyaay™yvx, р + — 6ааг/^тг/“ег/ше, н -
I 1
----2 і* + ~2 барбахг^?^г/8^, р —
----ЬХ(,Ьааушу<*хугк р) + О (?2). (6.6.23)
Каноническому квазитензору гравитационного поля удобно придать вид (5.6.13):
+ (6.6.24)
поэтому
tgo — У ,аг ~~2 a^a*)
+ A0 (y уаку, Ко —Y 6aVv^nv, OhjT-^y аХ,ау, х —
-УІоУа\----------J №у,ау, х)+ 0(?). (6.6.25)
Плотность скалярной кривизны можно представить как
R = g“V. и. у + g“v - Kk rVp ); (6.6.26)
эту форму особенно удобно разлагать в ряд 7 *.. „_\, і,/ ‘
— Лт, v6^v--------yPV,xyv, p) +
+ &3 (у У^У^Уае,, HV------^-rtpeya, |iv6“v +
+ -у 2/1? иУ, v + ^ixvJ/ РТ,и2/рт, v — 4" yvvy^ P —
Ix I
- -ТГ Уа*У«. vV*». Vfiliv-Г Л«Р. VSliv +
2 4
+ yrtaP,x/!v) + 0(fc4). (6.6.27)
Деля это разложение на А2, получаем представление гравитационного лагранжиана в виде ряда по степеням к; тогда член с коэффициентом Ieri можно просто отбросить, так как он не приводит ни ^k каким членам в уравнениях поля. Здесь мы не учитывали координатных условий, поскольку при построении различных динамических переменных с помощью лагранжиана необходимо пользоваться его полным выражением.
Лагранжианы других полей также записываются в виде аналогичных рядов, где члены, пропорциональные &п, следует толковать как взаимодействие этих полей с гравитацией.
Для скалярного поля получим:
Lsc = Y: (6арФ. <*Ф, P — M-V) : + *: ( - J УЦ2ф2 — у УаН, <*Ф, э) : +
+ : ф2 ( Y Уа*У«Ъ — УУ) : + О (*8); (6-6-28)
для электромагнитного:
Lem = —і: Vap [ 6^6VP + A (-^6^8^ - 2у^Ь^) +
+ &2 [\уу8»а№ + у»ау'« + у^умЬ^Ь'ї — уу»*№ )1:+0 (Zr3);
V8 4 'J~' " (6.6.29)
для фермионного iI
( і — — — Г т —
Lf = : I — ц — яр, — тЩ + к г/<°8 — -фгрбое +
^ Z о о L 4
+ (-ф, eY©^ “ №. ®) ] + Wy^yf5x ? ГП^Х|) 6(оабет — бсоебрт ^ +
H—777 "ф (бсоебрт — б сот б ре) а -гг “ф, а(бсоебрт бштбре) Y^l5
16 О 1Ь О J
— A2 г|)Т^ ^УауУ* %. (6.6.30)
16 о
1 В членах взаимодействия с гравитацией мы учли уравнения фермионного поля ну-
левого приближения.
218
В случае заряженного скалярного поля, взаимодействующего с гравитацией и электромагнетизмом, лагранжиан имеет вид:
Чб = : P6"0 + ieA« (Ф*Ф. P — Ф* еФ) s°p +
+ е24, Лр6а<Уф — |*2Ф*Ф + * [у И*УФ*Ф —
— ^op (Ф* О + ieAa ф*) (<pt ь—ie Арф)] +
+ #Уф‘ф ^ VaVyaH — -g- уу) J : + О (к3). (6.6.31)
Мы предполагали до сих пор, что в качестве лагранжиана гравитационного поля берется (с точностью до коэффициента) плотность скалярной кривизны. Однако нам понадобится для сравнения разных методов квантования также выражение гравитационного лагранжиана, как и динамических переменных гравитационного поля, в у-матричном представлении. Запишем их здесь:
I / 1 \
Lg = — у°\ рГР. ч [ баабтрбРЧ -баобт^брР — у бстбарбРЧ — баабрЧбтЧ +
