Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Следуя Гупте (1952), мы полагаем
gW = lf^gW = filiv _ kyW. (6.6.1)
Эту конечную сумму будем считать точной, и тогда все прочие величины будут выражаться, вообще говоря, в виде бесконечных рядов по степеням к. Входящий в (6.6.1) множитель к принимается равным
к = (6.6.2)
и является малым, если его брать в системе единиц CGS. В других системах приходится считать малым произведение ку^, являющееся величиной безразмерной. Выбор разложения (6.6.1) обусловлен особыми свойствами величины у^, которая была введена и исследована в § 3.2 (3.2.27). Мы показали там, что координатные условия Гильберта
= 0 (6.6.3)
эквивалентны условиям гармоничности де Дондера — Фока,
guv v _ о, (6.6.4)
и в этом случае первое неисчезающее приближение для уравнений гравитации имеет простой вид (3.2.32)
? yw = кТ^. (6.6.5)
Чтобы провести в рамках такого подхода процедуру вторичного квантования гравитационного поля и рассчитать соответствующие квантовые
212
эффекты, нужно разложить лагранжианы полей и динамические переменные в такого рода ряды. Это удобнее сделать, начиная с детерминанта метрического тензора, так как
g = Det guv = Det gi*v. (6.6.6)
Тогда детерминант выражается в виде конечной суммы,
g = —1 + % + -j № (JfwJfov — уу) + + 4-кЧУУУ — %У Vv-vVv* + 2 у^у^у/) +,
О
+ -^А4е,«;ірЄарївУм'аУ'’рУХі’Урб, (6.6.7)
откуда
У—g = I — -J ку + &2 ^-L уу — Jywyvt) +
(~ 4§"ш + T yy^yvuv ~ if ytivyvxy^ )+
/1 7 3
+ ** \ ~ 48 г»чХРга№у'1ау^уХау,>х ~ 384 уууу + 32 УУУ^У»'’ ~
— VabVbMvyVv* — jj УУ^хУ^ ) + 0 (ks) (6.6.8)
и
I I / I I \
-== H-----------ку + кЧ-уу-і----------JfwJfovJ +
І—g 2 \ 8 4 '
+ *3 (jg УУУ + JZ JZ livJZ ixv + y*W) +
/ I 3 3
+ fc4 EtXVXpeaPve^aJZvfiJZm^p* +,-JZJZJZJZ — — WVvrtVv* +
+ ^ УарУарУ^Уцу + J- УУ^УчХУ^ + O (?5). (6.6.9)
Из соотношений (6.6.1) и (6.6.9) получим
gxt> = 8ХР + к ^ J убХр — JZxp j + к2 yySxp+ JZctpJZapfi^p — т^УУхр) +
/11 1
+ *3 I TE УУУ № +."5- У Уа*У*№р + -TT УаРУРаУаа6Хр —
\ 48 8 6
— JZJZJZxp — JZafiJZapJZxp) + (^Г eapY6envaTjZaliJZpvJZvaJZ6tSxp +
13 3
• уууу№ — УУУ^Уарб^ + — JZaPJZapJZCTTJZox6Xp +
1 128 32 * н ' 32
I 11
+ -Г JZJZapJZpaJZaaSxp — — УУУУ^ — — УУаРУарУХр —
4 48 8
( __iуьЬу^у^уЪ)+0(ft5), (6.6.10)
213
откуда символы Леви-Чивиты можно исключить с помощью соотношения
(1.40). Поэтому
g-ьр = + к у8хР — *ЛР j + к2 ^-g- У У Skp +
+ J/°%ap6^ — yy^j + A:3 УУУ&О + УУ^УаьЬ^ +
I I I \ / 1
+ -g- Уа(іУ{іоУаа8кР — — УУУкр — — У^Уа^ J + 334 УУУУ&Р +
+ ^yyyaH арб^Р + Уа*УаМахУот8х<> + УУа^аУаа8^ +
I 11
+ -g- Уа(іУ№УахУта№ — — г/уг/г/'-Р — — УУ^УаМ** ~
— -7гУа*У№Уа?у'КЛ + 0(?5). (G.6.11)
D /
Из определения обратного тензора
*1^ = 6/ (6.6.12)
нетрудно теперь получить выражение для ковариантного метрического тензора:
?p,v = б JXV -f- k y8\iv -f- у \iv ^ -j- &2 ^"~g~ У У ?/a^ap6p,v
I \ / I 1
~ “2 VVw + VifV** J + *3\ 48 yyyb^ + у УУ^У*^ —
I 11
— -g Л l^a^v + -у WPliv — — У^УаМцч —
I \ / I 1
— Y У У V-cVav + y^yvv-yj) + 384 У УУ У bV-V ~ WWepJte p6nv +
I 11
+ 22 УаііУ^УОХУох8nv + — УУ^УроУа17^ — — У“рУроУатУтаб^ —
II 1
— -7- + -5- г/гг fW^nv ——уа^ауа°у^ +
4 8 6
jI I 1
+ g- УУУ\?У<™ — Y УУ»аУ°хУ™ — У**У°$У\?У™ +
+ !ГВУеоУМа#) +0(й5). (6.6.13)
Мы использовали здесь верхние и нижние («контравариантные» и «ко-вариантные») индексы у у ^y. Однако, для их опускания или поднятия использовались не тензоры g^v и ^v, а символ 6^v = (галилеева метри-
ка), как это делается обычно. Ясно, что здеся> можно было бы применить и двуметрический формализм. Тогда все разложения стали бы общекова-риантными. Вычисление этих разложений, чрезвычайно громоздкое и утомительное, само по себе не представляет ничего сложного. Поэтому мы приведем некоторые ряды более подробно, чем они нам понадобятся в дальнейшем, чтобы читатель был освобожден от лишних выкладок, если он пожелает исследовать эффекты высших порядков самостоятельно.
214
Что касается разложения “у-матриц» ^o в нем мы будем основываться на обычных (постоянных) дираковских матрицах, для которых
1
— Sp YmVv = ^v. (6.6.14)
4 оо
Исходя из соотношения (4.5.8), принимаем
Y^ = y(a)g*(a), (6.6.15)
причем
Y (a) — Y ^бц(а)= const. (6.6.16)
о
Для того, чтобы ограничиться рассмотрением величин уnV, примем
(^{а))о = б^(а). Тогда
к
g*( а) = 8* (а) + — (ба,еб^(а) - 26е^6а>(а)) у™ +
4
“Н к2 ( —- бшебатб^(Cl) + — бшабетб^(ct) “• 6©еба^бт (<х) —
х ой о о
— ^ бшабе^бт (а)) уаеуах + 0(/?3);
Y11 = Yli k ( -т 6<oeY11-ТГ Уш ( 777Г бшвбатУ1* 4“
о V 4 о Iq/ \ SZ о
I I 1 \
+ — бисбетУ1* - V бсвба^т - -Г- бшабе^т ) У^У™. (6.6.17)
0 оо OO О J
Символы Кристоффеля выражаются в виде рядов _ I / 1
Гnv, P = — (?цр, V + gpv, Jl g[iv, р) = к ^ ~ *//у6цР
1 * , 1 * , 1 I1 1 \,
4" ^lxvp + — Унр, V + — ypv, н 2" у[iv, р JmT
/I I I I 1
+ к2 у— yy,vf>iLp — Уа^Уа&> v6,p — у у Iipt У “ УіірУ, v тг У*°Уа Р> v тЬ
111 11
