Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
В локально геодезической системе просто доказать, что имеют место также дифференциальные тождества Бианки
RpilVX] CT -f~ Дрм-Ал; V Rpnav; X = 0, (1.81)
которые можно также записать в виде
¦ffapM-V; MvynvA, = 0 (1.82)
[ср. с (1.80)].
Свертьдвание тензора Римана — Кристоффеля дает тензор кривизны Риччи
16
(1.83)
и скалярную кривизну
(1.84)
Свертывание тождеств Бианки дает тождества
R-HVX; P Н” V HllV; А, = О
(1.85)
И
Gp; a = О,
(1.86)
где
(1.87)
носит название консервативного тензора Эйнштейна.
Равенство нулю тензора кривизны Римана — Кристоффеля является необходимым и достаточным условием того, чтобы мир был плоским и в нем существовали галилеевы (декартовы) глобальные системы координат. Необходимость этого совершенно очевидна; наглядный же подход к доказательству достаточности состоит в следующем. Если тензор Римана— Кристоффеля равен нулю, то в силу (1.72) и (1.74) параллельный перенос не зависит от выбора пути. Поэтому, взяв в какой-либо точке четверку взаимно ортогональных векторов (тетраду), можно однозначно построить с помощыо^ параллельного переноса во всем мире поле тетрад, повсюду ортогональных друг другу и покрывающих сразу все пространство-время. Система координат, образованная этими тетрадами, везде непрерывна ввиду указанной однозначности, и ее следует назвать голоном-ной. В этой декартовой системе метрика принимает сразу всюду вид (1.25), в чем и требовалось убедиться. Отражением того факта, что в искривленном мире неоднозначность параллельного переноса препятствует распространению декартовой системы на все пространство, является неголоном-ность в этом случае связанной с тетрадами «системы координат», которая не образует координатной сетки над пространством-временем. Локально мы всегда можем опираться на ортогональный репер (тетрады), и это соответствует возможности выбора локально геодезических систем. Так как подобные системы можно распространять вдоль линий, то тетрадные системы координат успешно работают на бесконечно узких полосках пространства-времени. Однако лишь только мы попытаемся «сшить» эти полоски в искривленном мире, как они сразу же «разъезжаются», так как их принципиально невозможно согласовать друг с другом при отличном от нуля тензоре Римана — Кристоффеля.
Тот факт, что с помощью ^-матриц можно и в искривленном мире построить параллельный перенос, не зависящий от пути, не приводит к возможности распространения на этот мир декартовых координат, так как они связаны прежде всего с приданием метрическому тензору формы
(1.25). (В связи с этим переносом см. § 2,3.)
Мы будем обычно пользоваться естественной системой единиц (с = I9 h = 1), лишь при необходимости переходя к системе CGS.
2 И. В. Мицкевич
2. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
2.1. Аналогия между классической механикой и теорией поля
Для нашей интуиции ближе всего представления механики, т. е. представления о движении частиц; полевые же и квантовые концепции мы формулируем с помощью механических понятий: координат, скоростей, импульсов, масс и других величин, почерпнутых впервые из механики. В то же время сама классическая механика является следствием полевых и квантовых закономерностей и поэтому сохраняет в себе ряд принципиальных черт более элементарных (хотя, казалось бы, и более сложных) теорий. Именно поэтому следует обратить внимание на основные черты механики, определяющие всю ее структуру; мы напомним их здесь читателю *. Вместе с тем нельзя думать, что механические понятия могут быть без всякого изменения перенесены в теорию поля (в квантовую теорию) — читатель вскоре убедится в этом.
Основной характеристикой физических систем в классической механике являются обобщенные координаты, представляющие собой функции независимого параметра — времени:
Qi — qi(t). (2.1.1)
Производные этих координат по времени представляют собой компоненты скоростей
ди (2.1.2)
от которых, как и от самих координат, зависит лагранжиан механической системы:
L = L(q,q). (2.1.3)
Из вариационного принципа для интеграла действия
J=^Ldt (2.1.4)
следуют уравнения Лагранжа dL d dL
¦------------------= 0 (2.1.5)
Oqi dt Oqi
— уравнения движения механической системы. Координаты (2.1.1) носят также название канонических координат; сопряженными им величинами (через лагранжиан) являются канонические импульсы
дЬ
Pi = -~ (2.1.6)
dq{
Из рассмотренных величин конструируется гамильтониан механической системы
H = Piqi-L (2.1.7)
(здесь подразумевается суммирование по всем значениям, которые может
1 Среди стандартных изложений теоретической механики с точки зрения современной теоретической физики следует указать книги Беленького (1964), Голдстейна (1958), Ландау и Лифшица (1'958) и Лича (1961).
18
принимать индекс г). В канонической (гамильтоновой) формулировке механики уравнения движения (уравнения Гамильтона) имеют вид
дН
Pi= (2.1.8)
и
дН
—. (2.1.9)
dpi
Мы вернемся к канонической формулировке механики в § 2.6, когда будем обсуждать гамильтонов формализм в теории поля.