Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мицкевич Н.В. -> "Физические поля в общей теории относительности" -> 7

Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.

Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности — М.: Наука, 1969. — 329 c.
Скачать (прямая ссылка): fizicheskiepolyavobsheyteorii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 141 >> Следующая


Задавая в пространстве-времени поле направлений (конгруэнцию кривых) , можно найти угол, который составляет с этим полем в любой данной точке какой-либо вектор. Перейдя в другую точку, лежащую на той же кривой, можно в этой новой точке взять новый вектор, образующий тот же угол с этим полем, но уже в новой точке, и обладающий той же длиной (модулем). Такая операция называется параллельным переносом вектора относительно данного поля направлений. Если это поле предполагается голономным (задается аналитически), то, конечно, параллельный перенос не обязательно производить вдоль кривой, являющейся огибающей направлений; тогда параллельный перенос не зависит от пути, по которому он производился (его можно совершать от точки к точке, и в голономном поле вектор не «забывает» своего происхождения). Риманова геометрия не предполагает существования такого поля, и в ней нет, вообще говоря, такого абсолютного (далекого) параллелизма. Это поле, конечно, может быть в нее внесено, но его природа чужда геометрии Римана, и новое поле ириводит к новым закономерностям (см., например, двуметрический формализм, § 8.5).

В римановой геометрии поле направлений задается неголономно, а именно уравнением геодезической (1.56). Таким образом, оно тесно связано здесь с метрикой (служащей для ковариантного дифференцирова-иия через посредство Г*у) и является глубоко геометрическим по своей природе. Мы определим параллельный перенос вектора Av, из точки х (А,) в точку х(Х + 6?) (обе точки лежат на одной геодезической) как переход от Лц(#(А,)) к Лц(#(Х + 6?,)) + SA11. Требуется определить бAyk. Это нетрудно сделать, требуя, чтобы не изменялся угол между вектором A11 и касательной к геодезической до и после переноса в соответствующих точках. Так как точки предполагаются бесконечно близкими, то величины, начиная со второго порядка малости, следует отбросить. Если в качестве к взять интервал и предположить, что скалярные величины (например, модуль вектора) при переносе не должны изменяться, то требование постоянства угла совпадет с требованием постоянства скалярного произве-

(1.59)

(1.60)

14

дения:

A.CW) -*.<.<*+64)+, (1Л1)

откуда [учитывая уравнение геодезической (1.57)] получаем

б All = -DA11, (1.62)

если считать, что перенос может быть осуществлен вдоль любой геодезической, проходящей через данную точку.

Аналогично можно определить параллельный перенос любой величины Ab, для которой определен абсолютный дифференциал.

Выясним теперь, как различаются результаты переноса по двум путям PQR и PSR (рис. 1). Пусть соответствующий замкнутый контур будет бесконечно малым, а его стороны образованы линиями, принадлежащими к двум семействам геодезических, описываемым с помош;ью параметров

и и V. Тогда из (1.62) следует

Un)PQ = А»(х{и + Ди, и)) + SA11 =

= (-4ц)рН“ (duAy,— DuAp)p, (1.63)

гДе Л

OXa о

<164)

И Oxa

Du = AU- (...);<*. (1.65)

OU

Окончательный перенос в точку R по пути PQR дает

Um)p<?H = И|а)р+;(4^И DuAll) ((IvAll DvAn) Q. (1.66)

Это выражение требуется расшифровать. Заметим, что (dvAц DvAil) q = [ГUv) PQ dvxa]Q =

= {[Гца^?а Н“ du(Г\iadvxa)][-4v “Ь (du Du)Ay$p\ (1.67)

нетрудно видеть, что правая часть этого выражения равна

[(dr — Dv -(- dudv — duDv — dvDu -f- DvDu)-4^]p. (1.68)

Поэтому

Um<)pqh = [(I + du Du -f- dv Dv -f- dudv — dvDu

— duDvDvDu)Av^p. (1.69)

Аналогично можно получить и вектор, перенесенный по другому пути:

Uja)psr — [(I + dv Dv -f- du Du dudv duDv dvDu -f- DuDv) Ац,]p. (1.70)?

Сравнивая эти выражения, получаем

(Ah)pqr— Um,) psr = (DvDu — DuDv) All, (1.71)

или

дхУ дхя

(Ац)pqr (-4ц)psr = (Ац; V; a, A^ Я; v) —-т— AuAv. (1.72)

ди dv

Точно такое же выражение можно получить и для Ab вообще. Здесь учтено соотношение

Dvduxv = Dudvxv, (1.73)

очевидное из определения абсолютного дифференциала (1.65).

15,

Непосредственное вычисление дает

Ацг V; А, Ащ Х; V = AaR.uvk, (1.74)

где введено обозначение

„ Def ^rlTv « » Ct P

•tlvx==^r_'^'+rvpr^“r"pr^ (1,75)

Так как вектор All — произвольный и слева в (1.74) стоит заведомо тензор, то величина является истинным тензором 4-го ранга (один раз

(1.76)

Рис. 1. Параллельный перенос вектора по двум разным путям

контравариантным и три раза ковариантным). Этот тензор называется тензором кривизны Римана — Кристоффеля. Очевидно, если тензор кривизны равен нулю, то параллельный перенос не зависит от выбора

пути.

В общем случае можно записать

А В; V; X А в; X; V = СІВ | а Д-fWA,.

Опуская один индекс, можно записать

1

RanvX = “г— (§аХ, ц, v ”i” ?nv, a, A, gav, ц, X SvlX, a, v) "f"

Zi

4“ §от(ТахГцу ГоуГрД,), (1.77)

откуда следуют соотношения

RaiivX = -RnavA,= RanXv1 (1.78)

RaiivX RvXaii (1.79)

и тождества Риччи

-RajivA,6pnvA, = 0, (1.80)

характеризующие свойства симметрии тензора Римана — Кристоффеля.

В силу этих алгебраических соотношений число ненулевых и независимых

компонент этого тензора в 4-мерном мире, вообще говоря, равно 20.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 141 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed