Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
A = t-Vp(rX-rX) (5.2.13)
методика Розенфельда — Белинфанте срабатывает. Нам достаточно взять укке известное выражение для плотности обобщенного спина (3.7.12):
I А, Л,
МлГ= — (—6aTg^vr“v + 6aTgatir^v + 2g™r“v — — g^Ta*)
(5.2.14)
и подставить в (5.2.12). Заметим сначала, что Млог -(- Мла = —— ( SaaS^vIVv -f-
+ 2gr'Tov + 2gavrav - 2g™Tu). (5.2.15)
Тогда
Єл«0 = -I (—26“Pg|tvrM.v + 46PTgavrtv — 2бРтёааГи —
тс/Ъ
- 26aTgParA + 26а^РГх?0,а, (5.2.16)
и, ввиду тождеств
(,CXgafi — gatgfio х _ 5Ptgaa t = (5.2.17)
И
= -g°> (5.2.18)
мы получим окончательно
g“P, at6OT + gat,at6“P — gao,at6PT — gPT,at6a<J = 2x0 f, (5.2.19)
— известное соотношение Папапетру.
При этом обычно говорят, что так как
Tfa -f- tAa = Uaq, (5.2.20)
то выражение BSf, стоящее справа, имеет смысл «симметризованного псев-
дотензора энергии полной системы полей», в соответствии с эйнштейновской терминологией, которую мы уже критиковали ранее. Так или иначе, но соотношение (5.2.19) замечательно своей простотой, тем более, что оно является строгим, а не приближенным.
Трудно, однако, утверждать, что смысл его состоит в том, что оно представляет собой уравнение гравитационного поля. Скорее,— это просто
157
определение величины, стоящей в правой части, через написанную в левой части (5.2.19) сумму вторых производных плотности контравариант-ного метрического тензора. В гармонических координатах
Интерпретация, которую предложил Гупта (1954, 1957) для этого уравнения, состоит в том, что гравитационное поле подобно всем другим физическим полям, обладающим источниками (например, электромагнитному), и различие исчерпывается, во-первых, тензорным рангом 2 его потенциалов и, во-вторых, а это — главное, тем обстоятельством, что источником гравитационного поля является энергия не только других полей и вещества, но и его самого. В этом, по мнению Гупты, физическая причина нелинейности гравитации, порождающей самое себя, взаимодействующей сама с собой и, очевидно, не допускающей простой суперпозиции решений.
В связи с этим Гупта предложил новый метод вывода уравнений Эйнштейна с помощью итераций, когда гравитационный лагранжиан, начиная с нулевого приближения, характерного для всех полей спина 2 [см. (Фирц и Паули, 1939)], последовательно дополняется такими членами, которые обеспечивают появление в уравнениях (обычно записываемых в правой части в качестве источников) компонент гравитационного симметризован-ного «псевдотензора». Ясно, что член приближения п в лагранжиане гравитации, содержащий произведения п + 1 потенциалов или их производных (имеются в виду обычно потенциалы у ^v), дает при варьировании члены, являющиеся произведениями п величин, тогда как следующее из этого же приближения выражение для энергии будет иметь «степень» п -f-1. Таким образом, требуя, чтобы члены, соответствующие такой энергии, оказались в правой части уравнений, мы должны для удовлетворения уравнений предположить присутствие в них и слева членов степени п + 1» а значит, и включения в лагранжиан произведений п + 2 величин. Это дает нам уже п + 1 приближение, и так далее. Такая процедура требует определенной осторожности, так как сильно зависит от выбора нулевого приближения лагранжиана, и заслуживает глубокого анализа. Исследования в этом направлении проводили Гупта (1957) и Гальперн (1963).
В трактовке Гупты аналогия между гравитацией и электромагнетизмом исчерпывается уравнениями этих полей и не касается динамики пробных частиц, несущих соответствующие заряды. Таким образом, эта аналогия остается довольно-таки формальной, и мы направим свои поиски по другому пути, начав с динамического определения понятий потенциала и напряженности гравитационного ноля.
5.3. Тензор относительной напряженности
гравитационного поля
Обратимся к некоторым выводам, полученным в § 3.5. Мы использовали там параметр и, изменяющийся вдоль геодезических мировых линий пробных частиц (канонический параметр), и параметр и, нумерующий самые геодезические в их семействе. Тогда 4-скорость записывается как
(5.2.21)
и «уравнение» сводится к уравнению Даламбера:
?g“P — - g“? 60Т = - 2и0л“Р .
(5.2.22)
(3.5.19)
(5.3.1)
Вместо бесконечно малой величины duxиспользовавшейся в § 3.5, мы предпочтем здесь опираться на конечный вектор
*• . <5' • который можно было бы называть вектором удельного координатного расстояния между геодезическими (подчеркнем, что это — именно координатное расстояние, а не расстояние метрическое!). Такое описание движения более всего соответствует методу теории сплошных сред, но, конечно, может без всяких оговорок применяться и в случае двух отдельных пробных частиц. Вектор удельной относительной скорости двух частиц, удаленных друг от друга на du, получается при делении выражения (3.5.20) на da; результат мы также обозначим здесь через что не должно вызвать недоразумений:
Def DvL*
, = (5.3.3)
dv f
Этот вектор обладает важным свойством _DV dux* = Duv*
dv dn du dv dii ' K >
Мы учитываем здесь то обстоятельство, что дифференциалы независимых переменных постоянны в смысле зависимости от самих этих переменных (будучи, конечно, бесконечно малыми в обычном для анализа смысле). Мы можем тогда написать уравнение девиации геодезических в хорошо известном виде:
