Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
= - SyMpvbgv* (5.1.26)
совпадало с уравнением геодезической. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
-J (Sftvx + = TvI (5.1.27)
154
и
^v--(5.1.23) Нетрудно показать, что именно такими свойствами обладает выражение
SjxvA, = “7j- ^Aj v6jxA, h, К 6jxv -f- Ajxv, Л -f- (# I) AjxA,, v AvX, jx J , (5.1.29)
где а — произвольная постоянная, а малые величины Ajxv,
Ajxv = ^JXV 6jXV, (5.1.30)
удовлетворяют всегда допустимым координатным условиям
A^v = O, (5.1.31)
к которым, как и к условиям Гильберта, можно прийти простым бесконечно малым преобразованием. В этих координатах, однако, мы не сможем получить волновых уравнений для гравитационного поля.
Проведенное рассмотрение должно служить лишь иллюстрацией положения в общей теории относительности; мы покажем дальше, что аналогия между гравитацией и электромагнетизмом существует в такой полноте и на таком принципиальном уровне, что, конечно, приближение слабого поля играет здесь главным образом эвристическую роль. Нужно подчеркнуть, что вопрос о динамическом определении напряженности поля является центральным в этом подходе.
5.2. Интерпретация нелинейности гравитационного поля
согласно Гупте и Папапетру
Как мы видели в начале предыдущего параграфа, уравнения гравитационного поля Эйнштейна в нулевом приближении совпадают с неоднородными уравнениями Даламбера для некоторого «потенциала» JJliv, причем источником служит тензор энергии-импульса других полей. Как показал Папапетру (1948), в точном, а не приближенном, случае имеет место совершенно аналогичное положение, с тем лишь отличием, что теперь в качестве источника выступает конструкция, включающая и гравитационную энергию [в интерпретации Папапетру (1948) и Гупты (1954, 1957)]. Мы выведем здесь соотношение Папапетру, чтобы увидеть, какое место в нашей классификации может занимать предложенное им выражение для энергии.
Работа Папапетру примыкает к тем исследованиям, в которых авторы брали комбинации симметричного тензора энергии-импульса негравитационных полей и канонического квазитензора гравитации, истолковывая величину, сводящуюся к спиновой доле гравитационной энергии, как энергию полной системы полей. Итак, задача состоит сейчас в переходе от несимметричной спиновой доли энергии к некоторой симметричной величине. Процедура такой симметризации была разработана Розенфельдом (1940) л Белинфанте (1939) и состоит в следующем.
В качестве строительного материала достаточно взять плотность обобщенного спина Маат, к дивергенции которой сводится и спиновая доля энергии. Исследование проводится с точки зрения необщековариантной теории, когда лагранжиан инвариантен лишь относительно аффинных преобразований (именно таков гравитационный лагранжиан Л). В противном случае аппарат симметризации не работает. Так как мы исходим из частной теории относительности, то должны ввести соответствующую ей метрику — метрику плоского мира, причем достаточно взять ее в декарто-
155
вых координатах (галилеевы значения), т. е. как б^. Очевидно, в равной мере можно было бы пользоваться двуметрическим формализмом, чтобы получить соотношения, ковариантные в смысле общих преобразований координат. При этом, задавая привилегированную систему (в которой вторая метрика имеет всюду галилеевы значения), мы либо должны ограничиться приближением слабого поля (см. предыдущий параграф), либо ввести глобальный закон, определяющий из чисто физических соображений (распределение полей и вещества во всем мире и во все времена) эту метрику,, т. е. галилееву систему (одно сводится к другому).
Самую величину СПИНОВОЙ ДОЛИ энергии Ujxv, которую мы симметрии зуем, писать вовсе не обязательно, так как она сводится к дивергенции от Maat. Тогда, пользуясь неопределенными коэффициентами, запишем выражение для симметризованной величины, которую обозначим через
постоянства галилеевой метрики и переставимости частных производных Друг е другом,
Сравнивая значения коэффициентов (5.2.5) и (5.2.8), находим с точностью до произвольного (формально) выбора а:
Величину а нетрудно окончательно установить, исходя из тех соображений, что доминирующую роль в «симметризованном» выражении (5.2.3) играет полусумма (обычная симметризация) спиновой доли энергии, взятой с обратным знаком; отсюда следует
0“р = аМ“Рт6<" + ЬШаахЬт + сМГ<тврх +
+ dMx™№ + еМхР<>* + /Мт°Ра6“\
(5.2.1)
или, так как
М“Ра = - U0P,
0“Р = + Ша!*>т + сМ,™6«* —
— + еМт, оЬах — /итР6ат.
(5.2.2 )>
(5.2.3)
Из требования симметрии
0*3 = 0Р“
(5.2.4)
вытекает
d = /, а = Ъ, с = е, а из закона сохранения
(5.2.5)
0“Р,р == О,
(5.2.6)
при учете сохранения спиновой доли энергии
(5.2.7)
® + / = 0, Ь + е = 0.
(5.2.8)
а = Ъ = —/
—d.
(5.2.9)
1
(5.2Л0)
156
м окончательно
0«р =------i[UT“6f>* + UtPfiere + +
и>
+ М0?“Х6ЭТ - М“\бР* - М?,° аб“1, (5.2.11)
или
е«Р = -L [(мГ+ Mt °) б(* + (Mf + мГ) бот - (Mt13 + Mt") б«1в. (5.2.12)
Из последнего выражения видно, что в случае инвариантного лагранжиана (в смысле общих преобразований!) и отсутствия в нем вторых производных потенциалов величина 0аР должна тождественно обратиться в нуль ввиду антисимметрии плотности обобщенного спина: Мтаа + Мтаа = 0. Однако именно в случае нековариантного гравитационного лагранжиана
