Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде всего мы укажем самый простой способ разрешения уравнений (4^9.1) и (4.9.2)_ относительно Aix. Действительно, умножая первое уравнение слева на tyyv, а второе — справа на Yv^ и складывая получен-ные векторные равенства, получаем:
WPyvYm^5H — ц YjaYv^ ~Ь eAixTp (YvYja + YmTv) Ф — 2m\|rYvty = 0. (4.9.3)
Учитывая теперь обычное соотношение для Y-матриц
Таким образом, задача решена.
Полученное выражение для 4-потенциала, хотя и обладает необходимыми свойствами ковариантности и простоты, все же не вполне удобно для дальнейшего исследования ввиду знакопеременности стоящего в знаменателе скаляра что потребовало бы дополнительного рассмотрения вопроса о том, как ведет себя числитель при обращении знаменателя в нуль. Этого можно избежать, несколько модифицировав процедуру решения системы (4.9.1), (4.9.2) так, чтобы делить приходилось на заведомо положительно определенное выражение (а именно, на 4-мерный квадрат плотности тока), обращающееся в нуль лишь тогда, когда равняется нулю и делимое. _
Предлагается умножить первое уравнение, (4.9.1), слева на ^YvYS а уравнение (4.9.2) — справа на y**Yv^- Тогда несложные преобразования дают
y^yv YvY^a = 2^V I,
(4.9.4)
окончательно находим
(4.9.5)
2 eAiX(gkvj» — gv”ih + g^p) = Ckv, где 4-мерный ток обозначен, как обычно, через ум- = ^y^,
(4.9,6)
(4.9.7)
149
а тензор Ofi равен, по определению.
Ckv = 2mgKvtyty + ^ ('ip,|xYM'YX'Yv'M? — II5YvYlYm^m-) •
(4.9.8)
Умножая равенство (4.9.6) HaVv и производя суммирование, находим:
На этом можно закончить первый этап построения естественной единой теории поля Максвелла — Дирака, аналогичный отысканию корня «максвелловского квадрата тензора напряженности» в теории Райнича — Уилера.
Мы сформулируем второй этап теории более декларативно, так как для практического решения проблем, по-видимому, проще рассматривать совершенно эквивалентную систему уравнений Максвелла и Дирака в их традиционной записи.
Потенциал электромагнитного поля All, выраженный, согласно формулам (4.9.5) или (4.9.10), через фермионный потенциал г|) и его первые производные, следует подставить в уравнения Максвелла в форме
Мы не имеем права пользоваться уравнениями электромагнетизма в форме Даламбера, где отбірошена дивергенция 4-потенциала, поскольку, как мы уже говорили, в нашей теорий с самого начала утрачена возможность калибровки электромагнитного потенциала — он однозначно определяется распределением фермионного поля г|э в пространстве и времени. Следующие отсюда уравнения довольно громоздки, и мы не будем их здесь приводить, хотя вывод их весьма прост. Это — уравнения третьего порядка, обладающие сильной нелинейностью (нелинейность как в числителе, так и в знаменателе, включающая в числителе и производные).
Исследование этих уравнений прежде всего показывает, что не могут существовать сферически симметричные статические поля Максвелла — Дирака, что, конечно, неудивительно, так как в этой теории электрон рассматривается настолько точно, насколько это допускает классическая физика (без вторичного квантования и учета радиационных и поляризационно-вакуумных эффектов), так что наличие у электрона спинового механического и магнитного момєнтое неизбежно запрещает существование сферически симметричных статических решений.
В такой теории, как и в естественной единой теории Райнича — Уилера, существует трудность при формулировке принципа экстремума действия. Можно указать условный выход из этого положения, сопряженный, однако, с отходом от традиционной теории. Именно, можно провести замену электромагнитного потенциала All на гр и производные г|)>м„ согласно (4.9.5) или (4.9.10), не в уравнениях Максвелла (4.9.11), а в лагранжиане взаимодействующих электромагнитного и фермионного полей:
Мы получим тогда новую теорию, уравнения которой будут уже не третьего (как в естественное единой: теории) порядка, а четвертого, но зато
2е Ax-Jv jv = Ckv-Jv. Иначе говоря,
AiI = Cixvjy,/2ej<xja.
(4.9.10)
(4.9,9)
(4.9.11)
і — —
L== — (Wj* — 4W40 —
- I
¦(4.9.12)
150
к ней может быть последовательно применена теорема Нётер и предприняты попытки квантования в основном в тех же направлениях, в каких это делается в нелинейной с самого начала теории гравитации.
Если же ограничиваться традиционной естественной единой формой теории, то она полностью эквивалентна обычной «линейной» теории взаимодействующих полей, но ее нелинейность, возможно, позволит получить некоторые качественные данные о структуре электрона, которые, несомненно* содержатся в обычном взаимодействии электромагнитного и фермионного полей и теряются, когда мы пользуемся методом последовательных приближений.
Первые сообщения об этих результатах см. в наших работах (1964г, 1965е).
5. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ КАК АНАЛОГ ПОЛЯ МАКСВЕЛЛА
5.1. Аналогии в случае слабого поля
Мы уже имели возможность коснуться случая слабого гравитационного поля в § 3.2, сопоставляя теории тяготения Эйнштейна и Ньютона. Как там было показано, если положить