Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы приведем здесь оценку двух членов взаимодействия — 4-го и 9-го. Для них получим (L — момент импульса электрона)
Последний эффект можно охарактеризовать как появление эффективного квазимагнитного (вращательного) гравитационного поля из первоначально заданного поля Шварцшильда за счет движения в нем фермиона. Вклад этого эффекта в «вес» электрона ничтожно мал даже при больших скоростях:
Конечно, применение уравнения Паули при этих скоростях незаконно, так как мы опустили при выкладках ряд членов, которые будут тогда*
2? — а%о%.
(4.8.41)
Ejhi = aj3E>kl
(4.8.42)
равенства) и эффекту спин-орбитальной связи (17-й член). Гравитацион-
A?4 = y (QS)
(4.8.43)
и
(4.8.44)
(4.8.45)
із* і 47
гораздо более заметными, чем малые гравитационные эффекты; однако такой анализ может быть полезен в иллюстративных целях.*
При анализе аналогии между гравитацией и электромагнетизмом следует помнить, что существует несколько ее аспектов. Так, из уравнений
(4.8.7), (4.8.11) и (4.8.12) следует заключение об аналогии между величинами C1I и Ail, H^v и Fliv, так что в эту схему не входят ^-матрицы или метрический тензор. Последние тогда можно назвать «субпотенциалами» гравитационного поля, так же, как это следует сделать при анализе гра-ви-электромагнитной аналогии в следующем разделе. Однако в уравнениях (4.8.16) и (4.8.40) аналогия предстает в ином свете: магнитной индукции В уподобляется вектор Q (ротор bi), а электрической напряженности — вектор g (градиент ньютоновского потенциала, ускорение свободного падения). Такой подход отвечает представлениям об указанной аналогии в случае слабого поля.
Следует указать также на разную природу членов, в которых фигурирует спин электрона и его собственный магнитный момент. В первом случае (4-й член) эффект обязан наличию в лагранжиане фермионного поля матричного вектора Cm,; этот же вектор приводит к появлению спина и согласно теореме Нётер. Такое согласие подтверждает сделанный нами вывод о гравитационном происхождении собственного механического момента электрона с точки зрения общей теории относительности (безразлично, берем ли мы тетрадную или уматричную ее формулировку). Во втором случае, когда мы рассматриваем собственный магнитный момент электрона, эффект обязан собственно присутствию у-матриц в лагранжиане, что имеет место и в традиционной частнорелятивистской записи теории. Собственный механический момент электрона в частнорелятивистской теории Дирака выводят обычно из несохранения в ней обычного орбитального момента; весьма близкие соображения используются и при анализе известного парадокса собственных значений скорости электрона (см.,, например, «Принципы квантовой механики» Дирака). Можно думать, что в общей теории относительности оба аспекта этой проблемы получают новое освещение.
Возвращаясь к выражению для квадрата эффективной массы (4.8.17), заметим, что присутствие в нем скалярной кривизны отражает факт нелинейности всякого фермионного поля ненулевой массы покоя (нелинейность вторичного происхождения), так как при отсутствии других полей уравнения Эйнштейна дают
R = kTf — хгафф. (4.8.46)
Вопросы нелинейности фермионных полей, априорно вводившейся рядом авторов, были подробно исследованы в общей теории относительности Родичевым и Шмутцером.
4.9. Естественная единая теория электромагнитного и фермионного полей
Распространим теперь программу перехода от самосогласованной системы двух полей к автоматически возникающему единому нелинейному полю со случая гравитации и электромагнетизма на случай электромагнетизма и заряженного фермионного поля (скорее всего, электронно-по-зитронного). В этом случае, конечно, наряду с двумя указанными полями может присутствовать и гравитационное поле; однако это существенно не изменит картины, и мы сейчас не будем вводить его явно, тем более, что соответствующее обобщение не составляет труда.
Как и в теорию Райнича — Уилера, мы не будем в естественную единую теорию электромагнитного и фермионного полей вводить какие-либо
148
гипотезы, но ограничимся традиционной формулировкой теорий электромагнетизма Максвелла и спинорного поля Дирака.
Задача сводится в основном к разрешению уравнения Дирака:
ц + — тиф = О
(4.9.1)
относительно электромагнитного потенциала Aix. Попытки такого рода производились и ранее (Элизер, 1958; Растоджи и Вачаспати, 1959), причем авторы ограничивались рассмотрением одного лишь (4-компонентно-го) уравнения (4.9.1), игнорируя комплексно сопряженное уравнение, линейно независимое по отношению к (4.9.1):
—п)>, ну» + — тф = 0. (4.9.2)
В этих попытках результат, естественно, содержал элемент произвола, так как среди 4 компонент уравнения (4.9.1) независимыми являются лишь
3, а определению подлежат 4 компоненты электромагнитного потенциала Ail. Заметим, кроме того, что мы, вообще говоря, не вправе накладывать на 4-потенциал Ail каких-либо калибровочных условий, не ограничивая при этом автоматически общности задания фермионного потенциала ф. К тому же выражения для Aix, полученные указанными авторами, отличаются неестественностью и громоздкостью, а путь цх рассуждений — чрезмерной сложностью.
