Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Yo = ^oY0 + Yi = — (НУ1 \
0 0 о
Y0 = а0 V; Y2 == ^iY0 + яГЧг-
о оо
Тогда, как просто убедиться,
(4.8.22)
Фои = [IMii -3^-( Mih - Mjh )] = - Qih
(4.8.23)
144
I
Qh == *“2"“ (4.8*24)
л yM Xі
Фом = Л---------=-?г (4.8.25)
Г2 Г
И
ф т = 6kigj — djigb. (4.8.26)
Наряду с угловой скоростью прецессии Лензе — Тирринга й мы ввели здесь ньютоновский вектор ускорения свободного падения:
g = grad . (4.8.27)
Г
Обобщенное уравнение Дирака (4.8.7) распадается теперь на два матричных (столбцы из двух строк) уравнения
(4.8.28)
D-и+ + GiOiU- = О,
DjcU- -f- GiGiU+ = О, где
D± = ——• + ib* — ± т ± — (Qo) + е<р + еАфі (4.8.29)
а0 дх? дхг 2
и
~ і д і . Ai
Gi = —r-r + + в-----, (4.8.30)
аг ox1 2 а,і
а фермионная ф-функция представлена в виде
+ -(?) («MD
(и+ и W-— столбцы, состоящие из двух строк). Символически решая уравнения (4.8.28),
и± = —D4TiGiOiU+, (4.8.32)
подставим результат в эти исходные уравнения и получим незацепляю-іциеся (в отличие от (4.8.28)) уравнения для и+ и и~:
DzfU+ = GiOiD±-iGjOjU±. (4.8.33)
Перейдем к нерелятивистскому (по скорости фермиона) приближению, чтобы получить «общерелятивистское» уравнение Паули. Тогда
iSrt1 tSTb--ST <“•>]• <4А34>
Как известно из релятивистской теории электрона Дирака в обычном изложении, для электронов и для позитронов, которые рассматриваются как частицы противоположных частотностей в общем решении уравнения Дирака (4.8.7), квантовомеханический оператор «энергии» эффективно записывается с разными знаками. В общей теории относительности это утверждение может быть записано в хронометрически инвариантной форме:
І = ±4^±-^, (4.8.35)
OX CLq OXf3
10 Н. В. Мицкевич \ 45
где верхний знак берется для электронов, а нижний — для позитронов. Аналогичным образом формулируется и оператор 3-импульса:
(4.8.36)
Здесь, однако, частное дифференцирование по Xi1 записанное в форме
(4.8.36), в общем случае следует заменить на такого же типа ковариант-ное дифференцирование. Так как в расчетах будут встречаться лишь выражения типа дивергенции и ротора, то явно вводить 3-мерные символы Кристоффеля излишне. Так, можно записать в приложении к произвольному хронометрическому вектору (в состав которого включена в этом случае ^-функция)
В правой же части следует учесть приближенное равенство (4.8.34) и перебросить оператор DZf вправо так, чтобы он действовал непосредственно на волновую функцию и±. Тот член, в котором он действует на эту функцию, будет малым, что ясно из итерационных соображений; появляющийся же при этом коммутационный член дает вклад в известные эффекты типа спин-орбитальной связи, и мы его сохраним. В результате, оставляя в левой части уравнения лишь оператор энергии, получаем
Предпоследнее слагаемое здесь также является величиной более высокого порядка малости, и мы его будем игнорировать.
Полученное уравнение необходимо преобразовать, с тем чтобы конкретные члены взаимодействия приобрели явный вид. Это достигается довольно громоздкими вычислениями, в результате которых мы окончательно приходим к общерелятивистскому обобщению уравнения Паули. Запишем его в операторном виде:
Ib
Поэтому левая часть уравнения (4.8.33) принимает вид
г ~ 1 „ -і
= ± Е± — тп —— (Qa) ± е<р — Ь(р1 ± еАфі jw±.
bijpiVi = +-^bijgi*(Уb Vi),».
(4.8.37)
(4.8.38)
Е± — Н± — m + 2^- -+- eq> + — (QS) =F
P2 .1
(4.8.40)
146
Верхний знак перед знакопеременными членами относится к электронам, нижний знак — к позитронам. Мы ввели здесь для удобства записи и из соображений хронометрической инвариантности 2 X 2-матричный хронометрический вектор, в два раза превышающий величину оператора спина электрона в единицах ft:
Кроме того, по стандартным правилам был введен аксиальный тензор Леви-Чивиты
и использованы 3-мерные хронометрически ковариантные дифференциальные операции дивергенции и ротора и алгебраические операции скалярного и векторного умножения.
Записанные в (4.8.40) члены энергии взаимодействия приводят к различным фермионно-гравитациопно-электромагнитным эффектам и, в частности, к хорошо известному эффекту Зеемана (7-й член в правой части
ный аналог эффекта Зеемана, предсказанный Я. Б. Зельдовичем, описывается 4-м членом; гравитационный спин-орбитальный эффект содержится в 9-м члене. Наряду с членами «чисто» фермионно-электромагшттного или фермионно-гравитационного взаимодействия (в первых, конечно,' должен содержаться гравитационный эффект красного смещения, замаскированный хронометрически инвариантной записью) в оператор энергий' (4.8.40) входят и смешанные, интерференционные члены. При этом гравитационные эффекты, соответствующие электромагнитным, появляются в более раннем порядке по т, так как эффективно происходит замена е / т 1 (вместо электромагнитного заряда подставляется гравитационный заряд — масса). Таким образом прослеживается, например, аналогий между уже упомянутыми эффектами.
Различия в поведении частиц и античастиц характеризуются разными знаками перед энергетическими добавками. Часть членов, сохраняющих знак неизменным, можно объединить с массой, составив новую эффективную массу покоя фермиона. Там же, где в игру вступает спин, роль его ориентации оказывается в знакопостоянных членах разной для разніїх ориентаций спина частиц.
