Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Чг(Тох + ТХа). (4.6.3)
Так как левая часть уравнений Эйнштейна одинакова при любых условиях варьирования, мы склонны придерживаться первого подхода.
Перед тем, как вычислять выражение 6L / Syt, сделаем несколько замечаний о лагранжиане (4.5.30), точнее (4.5.35). В нем можно явно не использовать ковариантных производных Y-матриц, так как
YmY*; mYv lYvYv; ^Yfl — YliYv, ^Yv “ YvYv, (JiYia- (4.6.4)
Ho все же удобнее пользоваться явно ковариантными на каждом этапе соотношениями, так что уравнения поля следует записать в общем виде
(2.2.23):
3L [ qL \ 1
~^ГТ----( — J + ТГ" (6aE6a vgX\x + 6a86A,vg<Dn + 6цє6о)У?Ла +
dKb 8
+ 6|/6A,vg<oa — gX^gaag™ — g^gXagev) X
x Y“f sp (sr-*1) ]., = a <4-e'5)
1 ; со ’
Однако последнее громоздкое слагаемое здесь, к счастью, тождественно обращается в нуль, если заметить, что первый множитель в нем симметричен по <о и Я, тогда как стоящий под знаком градиента шпур равен
Sp (Vх ) = ~ ~~8~ * (VwYfcV- — YeYfcYm) У (4.6.6)
и явно антисимметричен по тем же индексам. Поэтому = У g (Ij)a^ft, a — -фе, <4ь) —
ab
— Т[ ^V; 6 ~ MYvYv; а) а^Ь + (W^Y®; v) а^Ь -
137
I
— *фа (Y^;vYv^) b — ~г г|) (Y11Yv; ^Y« “ Y«YV; *Л>Д) 1I5 * (Yь&№ +
4
+ Yebo^va) ] + у [(^р)аМ)ь~(^о) a (Yp^fbbj. (4-6-7)
Здесь мы учли то обстоятельство, что в силу уравнений фермионного поля (4.5.27) и (4.5.28) лагранжиан равен нулю:
Lf = 0 (4.6.8)
(слабое равенство!). Кстати, из этих уравнений следует также закон сохранения заряда без всяких его модификаций:
(^^):^ = 0. (4.6.9)
Приводя подобные, тензору Tox нетрудно придать вид:
2 2 6Lp —
— Txo =-----TT='-------YabT = ‘фут'ф, а *ф, о\х^> +
і i^ .g
1 - і -+ 1P, P (YpYtYo ~ YaYtYp) •Ф + у ^ (YpYtYa ~ YaYtYp) Ф, P +
1 _
+ 'Ф (YvYv; oYt — YtYv; °Yv + YP; 3YtY° ~' YoYtYp;.P +
+ YpYt; PYo — Y® Yt; PYp + YpYtYo; P - Yo; PYtYp) (4.6.10)
Из этого выражения явствует, что един только дираковский лагранжиан (4.5.29) не может в принципе дать симметричного тензора T7liv- Чтобы показать симметрию полного выражения (4.6.10) для Tftv, воспользуемся сначала соотношением
YpYtY о — YoYtYp = SvpYtYo — 2gtPYa + 2gCTpYt — 2gatYp (4.6.11)
и аналогичным ему, а также уравнениями (4.5.27) и (4.5.28)отсюда следует
4
-Txa= IfYViI:, a + ifYoi|:,T — if.aYTif — if ,TYoif +
1 -Г 1
+ у if [ — Y“; Й0та — J- (YaYP; <*YP ~ YpYP; «Y05) °та —
1
— OtoYtl; и 4- j- Oxa (YaYP; “Yp — YpYP; <*Y“) +
+ YvYv; oYt — YtYv ;oYv + Yp ;PYtYo — YoYtYp ;P —
— YoYt: PYp + YpYtYo; P — Y0; PYtYP + YpYt; PYo j • ('4.6.12)
Первые три члена явно симметричны по сг и т, что же касается остальных, то их симметрию можно наиболее простым способом доказать, привлекая соотношения (4.5.7) или (4.5.25), которые лучше взять в форме
Yu; V = OvjaY*1. (4.6.13)
где
Фцул, = — SW, (4.6.14)
причем коэффициент Ф^я. уже не является матрицей. Тогда инвариант
(4.6.4) равен
138
YaYP; <*YP “ YpYP; «Y® = “ 2Ф[ар8] таре, (4.6.15)
где
I
Ф[аре] = — (Фаре + ФваЭ + Фреа) (4.6.16)
— полностью антисимметризованный тензор Ф^я, нормально антисимметричный лишь по двум последним индексам. Стоящие в скобках в (4.6.12)
первый и третий члены дают
— (Yt*; до™ + OtaYp; Ц> = — 2Ф !Vx^0, (4.6.17)
причем имеет место равенство
— (YbYP; <*YP — YeYP; *V“) + Otw (VaVP: aYe — YpYP; <*Y“) =
= 12Ф[аре] UwTape + #»%**) (4.6.18)
на основании (4.6.15) и благодаря коммутационному равенству
T^pe0HV — (juv-jape _ 2 (glibjapv _j_ gnPTvea _j_
-J- gruotjpev _|_ ^rvexPan _|_ grvpT)tae _J_ gva^ePnJ _ (4.6.19)
Приведение подобных, с учетом соотношения (4.6.16), тогда дает 4 т
-Txa = ^Yt^, в + ^YH5. * — ф. OY^ — t|>, tYalj) +
1 —
+ — ^(ФЧарТ®^ + Фаарт^ - )ф, (4.6.20)
где симметрия уже очевидна. Это выражение приобретает более стройный
и единообразный вид, если в нем тензор Фцуа, не фигурирует явно:
6Lp tf—g f-
At0 —
ab
1I/d— ё (— —
YabT —------------1 о + ^Y<4. t—
I -
— ?, <Л>4> —1|>, xy<^> -f-j'tt (YaYa; x\a — Y<»Y«; *Y“) +
+ (YosYa; oYt — Y^Ya; trYa)ftl>} = T«- (4.6.21)
Итак, первая роль добавочного члена в полном лагранжиане (4.5.26) выяснена: он гарантирует симметрию Tv^.
Вторая его роль — обеспечение ковариантного сохранения этого же тензора. Конечно, можно было бы взять непосредственно дивергенцию TtJav в какой-либо его конкретной форме и провести соответствующие выкладки, однако такой путь совершенно необозрим и требует применения нежелательных искусственных приемов. Гораздо удобнее исходить из соотношения
(4.6.2), заменяя во втором слагаемом ковариантную производную у-матри-цы согласно равенству (4.6.13). Мы получим тогда
Т?«. р =------Й-Yab; а = - ТхрФ.?. (4.6.22)
Ka
Однако тензор Ф^а, (символы Риччи) антисимметричен по последним Двум индексам, а метрический тензор энергии-импульса Tхр, как только что доказано, при новом выборе лагранжиана симметричен. Поэтому умножение с суммированием по индексам в правой части (4.6.22) дает тождествендый йуль, и тем самым доказай факт ковариантного сохранения метрического
