Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
DA11 = AWiVdx\ (1.48)
Нетрудно показать, что закон преобразования связности (1.45) справедлив для символа Кристоффеля — выражения, построенного из первых производных метрического тензора:
ГЦД? = ?^В(?цє, V + gev, м- ?mv, є) • (1.49)
Ковариантное дифференцирование с использованием символа Кристоффеля в качестве связности можно назвать ковариантным дифференцированием относительно метрического тензора (g-дифференцированием).
Операцию ковариантного дифференцирования можно ввести для любого тензора, тензорной плотности и аксиального тензора; эта операция приводит к новой величине того же типа, но имеющей на единицу больший ранг (добавляется один ковариантный индекс). Самая общая запись определения ковариантной производной для всех указанных величин имеет вид
Def X
Лв^ввит^ + Лв.*; (1.50)
абсолютный дифференциал при этом равен
Dpf
DAb = As^dxv (1.51)
1 Под геометрическим объектом понимается величина, компоненты которой в новой системе координат выражаются через линейные комбинации ее компонент в старой системе, причем коэффициентами служат производные различных порядков от старых координат по новым, и наоборот. Эти линейные комбинации могут быть как однородными, так и неоднородными. Простейший пример объекта первого типа — обычный тензор, а объекта второго типа — коэффициент связности К перво-
му же типу, относятся и величины, преобразующиеся по законам (2.5.10), (2.5.11) и (2.5.13).
[2
(использованы обозначения, характерные для Ав). Отсюда следует, например, что метрический тензор g-ковариантно постоянен:
guv;*, S= 0; g]T = 0, (1.52)
как и его детерминант. Интересно, что
A* =A,: (1.53)
Fjv-Fjv, (1.54)
тде — векторная плотность, a F^v — плотность антисимметричного тек--зора веса +1.
В противоположность тензору 2-го ранга (g^v), вектор не может быть ковариантно постоянным, если только пространство-время не является плоским [это следует из соотношения (1.74)]. Однако если в пространстве определить каким-либо способом (например, алгебраически, а также с помощью дифференциальных уравнений, в том числе даже неголоном-но) поле направлений, то относительно этих направлений может существовать и ковариантно постоянный вектор (как и вообще ковариантно постоянный тензор любого ранга). Например, можно определить поле 4-мерных скоростей, ковариантно постоянное относительно своих же собственных направлений. Математически это утверждение записывается так: берется ковариантная производная 4-мерной скорости dx* / ds и строится ее проекция (скалярное произведение) на направление этой же скорости в той же точке. Такая проекция полагается равной нулю. Так как поле направлений определяется здесь условием ковариантного постоянства относительно самого себя, то это определение, конечно, неголономно и соответствует системе четырех уравнений
dxv / dx» \ ds \ ds / -V
1—1 = 0, (1.55)
или, что то же самое,,
D / dx^ \
*гЫ=°- (1-56>
Огибающие этих направлений называются геодезическими, а уравнение
(1.56), которое чаще расшифровывается подробнее как
dPxv -і dxv dx$
*Г+1^^ = °- (1-57*
называется уравнением геодезической. Оно обобщает уравнение прямой, переходя в него, когда пространство становится плоским (нам привычна запись прямой в декартовых координатах). Умножая уравнение (1.56) на g[i.vdxv I ds и пользуясь постоянством этого множителя относительно поля геодезических скоростей, получаем
D ( dxu> dxv\
~ds Igtivlh~di)= ’ (158)
т. e. заключение о постоянстве gVi\(dxil / ds) • (dxv / ds) вдоль геодезической. Строго говоря, мы не предполагали здесь, что канонический параметр s совпадает с интервалом, определяемым (1.21); но если этот интервал отличен от нуля, то s можно отождествить с ним, как это обычно и делается.
G понятием геодезической в римановой геометрии связаны многие пути вывода тензорных соотношений. Мы укажем в связи с этим на локально геодезические системы координат, в которых в данной точке (обыч-
13
но в начале координат) обращаются в нуль все компоненты Г ^ (или, чта то же, все guv, а). Действительно, взяв преобразование координат
где помеченные значком «нуль» величины относятся к выбранной нами в качестве начала новой системы координат точке, мы приходим на основании закона (1.45) к равенствам
что и требовалось получить. В других точках символ Кристоффеля, конечно, не равен нулю, и вторые производные компонент метрического тензора в локально геодезической системе, вообще говоря, не исчезают. Такие координаты существенно упрощают многие вычисления, так как для доказательства универсального выполнения какого-либо тензорного равенства достаточно показать, что оно выполняется в какой-либо специально выбранной системе координат (важно, чтобы доказываемое равенство было заведомо тензорным). Заметим, что обратить в нуль все компоненты Г?у моягао не только в любой наперед заданной точке, но и вдоль любой несамопересекающейся линии. Однако для того, чтобы Г *v = О сразу во всем мире, необходимо, чтобы мир был плоским.
В рамках одной и той же локально геодезической системы координат сохраняется еще некоторая свобода преобразований, и особенно близкими к декартовым координатам плоского мира здесь являются так называемые нормальные системы координат.
