Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
134
Все сказанное можно было бы исследовать далее в терминах тетрадного формализма, однако проще и удобнее делать это в ^-матричном представлении Зоммерфельда (1956) *. Зоммерфельд предложил рассматривать в частной теории относительности У“матРиЦы не #ак обычные постоянные (одинаковые во всех системах отсчета) матрицы Дирака, а как матричный
4-вектор (в смысле преобразований Лоренца). Отсюда напрашивается очевидное обобщение на случай общей теории относительности (риманова пространства), рассмотренное нами в § 8.6.
Если учесть также взаимодействие с электромагнитным полем, то фер-мионный лагранжиан удобно записать в виде
где первое слагаемое в точности повторяет частнорелятивистский лагранжиан Дирака:
инвариантный с точки зрения чисто пространственно-временных преобразований (без поворотов тетрад и преобразований подобия), а добавочные члены представляют собой лагранжиан взаимодействия с гравитационным нолем, который удобно записать в одном из следующих видов:
При варьировании действия для фермионного поля следует учитывать соотношения
Тогда принцип экстремума действия приводит к уравнениям фермионного поля, взаимодействующего с гравитацией и электромагнетизмом, в виде
1 В тетрадном формализме проблема описания фермионов, рассматривалась Родичевым и также Левашовым и Иваницкой; вместе с тем существует ряд подходов к описанию фермионных полей, близких как тетрадному, так и зоммерфельдовскому формализмам (Шрёдингер, 1932; Тетрод, 1929; Дирак, 1958; Брилл и Уилер, 1961; Инфельд и ван дер Варден, 1933; Шмутцер — серия работ в 1960 — 1964 гг.; Крамер, 1966; Оги-евецкий и Полубаринов, 1964, 1965; Оливейра и Тиомно, 1962). В некоторых из этих работ спиноры рассматриваются с точки зрения формализма компенсирующих полей.
Lf — IjD -J- AgIj Н- iAemL,
(4.5.30)
(4.5.31)
(4.5.32)
(4.5.33)
(4.5.34)
или
(4.5.35)
и лагранжиан взаимодействия с электромагнитным полем:
AemL = у—goMnY11'!3-
(4.5.36)
[Ср, YxI- = — іФр-hY14 = — *У;р
(4.5.37)
s
[Cu, Ytl]+ = ZfCp — IYjm = 2С»у» + ^Yim-
(4.5,38)
и — m-ф + Y^(Cn + = О
(4.5.39)
135
и
^yix + Щ — $ (С» + еА») у* = 0.
(4.5.40)
Эти уравнения можно записать и через обобщенную ковариантную производную, например, в форме
Дальнейший анализ мы будем проводить, «забывая» о тетрадном подходе и пользуясь лишь ^-матричным представлением гравитации, когда •у-матрицы образуют общековариантный 4-вектор, а “ф-функция фермионно-го поля является столбцом, состоящим из 4 скаляров. Речь идет, таким образом, о системе 4 скалярных полей, взаимодействующих друг с другом и с гравитацией, представленной посредством ^-матриц. При таком подходе естественно возникает вопрос: не будет ли достаточно для описания такой системы полей тривиального «обобщения» лагранжиана Дирака, т. е. формы (4.5.31) без привлечения добавочных членов? Тогда, как легко видеть, спин этого «сверхполя» (системы 4 полей) окажется равным нулю, в противоположность тому, что наблюдается на опыте. Вместе с тем, как покажут расчеты следующего параграфа, следующий из лагранжиана (4.5.31) метрический тензор энергии-импульса (точнее, его наиболее естественное обобщение) оказывается несимметричным и не консервативным. Первое обстоятельство не играет решающей роли, если исходить при формулировке теории гравитации не из определения (1.31):
Дело в том, что при варьировании матриц Дирака слева в равенстве (4.5.45) должна сохраняться единичная матрица, и это накладывает ограничение на вид вариаций; именно, можно положить, что
и это гарантирует симметрию тензора Tviv, стоящего в правой части уравнений Эйнштейна. Однако в соотношениях Нётер в любом случае будет стоять совсем другая величина, не обязательно симметричная [и не симметричная в действительности, если берется один лагранжиан (4.5.31)], поскольку в теореме Нётер используются не вариации v-матриц, а их преобразование, не связанное с условием (4.5.46). Таким образом, даже не считая спецн-фического положения, сложившегося со спином, при анализе законов сохранения возникает ряд нюансов.
Vuitj) — т*ф = О,
где
(4.5.41)
(4.5.42)
Пользуясь явно ^-матричной записью, можно также получить
iYp^ + Y — ~ (YtlYv; HYv — YvYv; nY^) t = 0.
(4.5.43)
(4.5.44)
а из антикоммутатора
g[xv I — — YvI+-
(4.5.45)
(4.5.46)
136
4.6. Симметрия фермионного тензора энергии и его ковариантное сохранение
Если через Tqttj
— уаьа = Tot, (4.6.1)
OY
аЪ
обозначить величину, фигурирующую в соотношениях Нётер (2.4.25) или
(2.4.47), то последнее из них примет вид
Т4э + ^Чь;«=0. (4.6.2)
Мы будем избегать теперь термина «спинорное поле», так как не будем пользоваться понятием спинора. Величина, стоящая в правой части уравнений Эйнштейна, будет при общих вариациях Y-матриц, допустимых с точки зрения определения (4.5.44), совпадать с (4.6.1); если же, как мы говорили в конце предыдущего параграфа, принять более жесткое условие (4.5.45), то мы получили бы в уравнениях Эйнштейна
