Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
?й(а); V = ?ц(а), V-^x(O)Tmv, (4.5.2)
то обобщенная ковариантная производная тетрады тождественно равна нулю:
Def
Vv&i(a) = ft*(a);v + ?si(e)^(e);vgrx(a) = &і(а); v — Ф^Ча) = 0.
(4.5.3)
Здесь мы воспользовались соотношениями (8.7.42) и (8.7.44), а также перешли при дифференцировании от нонвариантного к ковариантному индексу. Так как нонвариантно-нонвариантные компоненты метрического тензора совпадают с компонентами символа Кронекера, с помощью преобразования подобия
у»-+S- (4.5.4)
можно перейти от матриц
у (а) = бц(а) -Y14 (4.5.5)
о о
к переменным матрицам у (а). Итак, «постоянные» матрицы Дирака в действительности преобразуются при тетрадных поворотах, но с этими последними всегда связывают соответствующее преобразование подобия так, чтобы оба цреобразования в точности компёнсировали друг друга. В этом и состоит обычное доказательство ковариантности уравнения Дирака в частной теории относительности. Это утверждение можно записать общекрвариантным образом так. Постулируется связь (одновременность) преобразований:
. ч dxv дх'(а)
(45:б)
и
дх'*1
Yli ^ ’ (4-5-7)
где обобщенные по Зоммерфельду у-матрицы суть
yn_gn( a)v(a). (4.5.8)
Определяя обычным способом ковариантную производную \-'матРиц, DdE я
Yi*: V — Yu. V — Y^r (4.5.9)
* «Нонвариантные» компоненты — то же, что «тетрадные» (см. § 8.7); их ввел, в частности, Румер (1956), неудачно (на наш взгляд) назвав «инвариантными» компонентами.
ІЗІ
мы потребуем обобщенного ковариантного постоянства Y-матриц:
Def
VvYm^ = YM.; V + ?Гіа(е)?Гх(е) JVYx = Yi*: v Ov^Y* = О* (4.5.10Ї
Конечно, в смысле обычной ковариантной производной Y_MaTPH4bI могут быть постоянны лишь в плоском мире. Наложение требования (4.5.10) при всех калибровках Y-матриц (одновременном выборе как этих матриц, так и ориентации тетрад) определяет связь между преобразованием подобия и тетрадным поворотом, которые отныне должны реализоваться согласованным между собой образом. Тем самым мы подразумеваем тесную связь между Y-матрицами и метрическим тензором, что позволяет интерпретировать поле матриц Дирака как разновидность метрического поля. Соотношение (4.5.10) удобно переписать в виде
Yn; V = (4.5.11)
или, вводя вместо символов Риччи полностью эквивалентный им матричный вектор
Cv = ~ OvXp YxYp = ~г ф VXpO^p, (4.5.12)
4 4
в виде
Yu; V = і [Cv, Ym-] — (4.5.13)
Многие авторы употребляют вместо Cix другой матричный вектор:
IV=JCV (4.5.14)
(например, Уилер и Брилл) . При выводе равенства (4.5.13), часто используемого в теории, полезно учесть соотношение
CfUeyX _ уха<*е = 2 (grteYco _ grnyo) ^ (4.5.15)
Итак, мы требуем выполнения равенства (4.5.10). Преобразование подобия
(4.5.4) дает
Yh; V —> S[Yia; V — SyS-Iyll + Yh^.v^”1] S, (4.5.16)
тогда как матрицы Cv преобразуются по закону
• Cv-+S-KlvS — iS-t-Sy. (4.5.17)
Здесь мы учли, что
(5-і), e = -S^Sta-S-*. (4.5.18)
С другой стороны, непосредственный подсчет на основании (4.5.12) дает
+ (4.5.19,
Сравнивая это равенство и (4.5.17), получаем
‘ в. (4.5.20)
4 дх((о) \ дх(х) /,V
Это уравнение для матрицы S как функции коэффициентов тетрадного пре-
образования легко интегрируется в случае инфинитезимальных преобразований, и результат дает хорошо известную форму матриц преобразований спиноров
133
Действительно, если ввести теперь величины, преобразующиеся по законам
* (4.5.22)
и
ф —>¦ if)»?, (4.5.23)
то мы получим соответственно обычный спинор и дираковски сопряженный спинор. Обычно их связывают между собой по правилу
«ф = (4.5*24)
где р — эрмитизирующая матрица (обычно совпадающая с постоянной
матрицей V0)» а крестиком обозначено эрмитово сопряжение. Тогда об-c.
общенные ковариантные производные для спиноров записываются как VviJ) = Vv^ = — iCv$ (4.5.25)
Vvip = ij3Vv = $v + MpCfv, (4.5.26)
причем обычное (внутреннее или скалярдое) произведение ф и \р дифференцируется как обычный скаляр:
Vv (W) = (W), V (4.5.27)
а внешнее произведение, представляющее собой 4 X 4-матрицу, дифференцируется по правилу
Vv(W) = (M),V + і(М, Crv]-. (4.5.28)
Ввиду изложенного, для того чтобы лагранжиан спинорного поля был инвариантным как по отношению к обычным, так и по отношению к тетрад-цым преобразованиям, его следует взять в виде
Lp = У— g ¦фУц'уЧ’)-]> (4.5.29)
тривиально обобщающем лагранжиан Дирака частной теории относительности. Это основывается на том факте, что обобщенная ковариантная производная обладает свойством ковариантности в отношении тетрадных преобразований и соответствующих им преобразований подобия, т. е. при преобразованиях соответствующие коэффициенты дифференцируемых величин беспрепятственно переносятся через знак этой производной (ср. с обычным ковариантным дифференцированием).
Прй анализе лагранжиана (4.5.29) существенно заметить, что спин фер-мионов оказывается не следствием поворотов в обычном пространстве, а вытекает из инвариантности лагранжиана при повороте тетрадных векторов (иначе говоря, при повороте неголономных тетрадных координат). Такое резкое отличие, скаJ^eMV.от спина электромагнитного поля (фотонов) вызывает недоумение; одцако если в теореме Нетер все выкладки проводить лишь в обычном пространстве, то и в этом случае мы получим «правиль-> ное» значение спина фермионав (1/2), но тогда оно целиком должно быть истолковано как результат взаимодействия спинорного поля, с метрикой. Первьгй подход реализован в частной теории относительности Усачевым, второй же возможен лишь в искривленном с самого начала мире, хотя его результат полностью сохраняется; при стремлении кривизны к нулю (см. обсуждение в § 4.7). Заметим также, что если электромагнитно-фермионное взаимодействие осуществляет непосредственно потенциал 4 ц, то гравита-ционно-фермиоцное взаимодействие существенно включает производные тетрад или у-матриц (символы Риччи), как это было отменено еще Фоком д Иваненко (1929, 1930). Напомним также, что матричный вектор (4.5.12) представляет собой известные коэффициенты Фока — Иваненко.
