Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
128
Теперь полезно перейти к новым переменным, а именно Я + Г = F и Л.
(4.4.22)
Тогда уравнения (4.4.17) и (4.4.18) принимают вид (следует помнить, что поле безмассовое!)
1 усК2
Д7 —(F')2 — — F' -f-(2F — R)'R' —---------------------
г 2г4
3
AF-(Fy)2- — F' + 2(2F —Л)'Л'-----------e2^,
r Г4
комбинирование которых дает
0.
Это уравнение легко интегрируется, если использовать замену F=-Inp, которая приводит уравнение (4.4.25) к виду
r + -P'*7W=0,
Г г3
так что
Тогда производную потенциала (4.4.21) можно записать как к 1 г2 I — Afr2 ’ а сам потенциал имеет вид
К І ІА-г
ф = -----In -=--------
2А t + г
Вернемся к уравнению (4.4.23); его нетрудно привести к виду
I v.K2 1
V" 4- V' — (V' — R'\2 =-------------------
+ г 1 } 2г4 (1-Л/г2)2 '
Подставляя сюда F, мы получаем
(F' — R')2 = (4Л — иЯ2) — 4)-2. (4.4.32)
Вводя обозначение
44 — YK2 = <?2 > 0 <4.4.33)
(откуда, в частности, следует принятое ранее предположение, что А > 0) в извлекая корень, получаем
(4.4.34)
(4.4.23)
(4.4.24)
(4.4.25)
(4.4.26)
(4.4.27)
(4.4.28)
(4.4.29)
(4.4.30)
(4.4.31)
Rr=V'
Ii-A'
9 Ж. В. Мицкевич
Интегрирование тогда дает УА + г
R = F-
2 А
In
(4.4.35)
ул —г I
(выбор знака при извлечении корня определяется согласием с решением Шварцшильда в пределе К = 0). Подставляя в (4.4.35) функцию V, находим
R= — In
(і +
ул \q:ua
а затем и
(4.4.36)
\ямл
I=V-R = -In-
(1 +
(4.4.37)
Сравнение с решением Шварцшильда показывает, что следует положить
А = т? / 4; тогда
1 +
goo =
т
2г
2 Qlm
И
~g
т
27
(4.4.38)
(4.4.39)
14-
яг
27
(4.4.40)
Подведем итоги. Получена метрика
2 Q/m
ds2 =
/ і — HL
• 2r
л , т і
1+2Г/
(/I1
(*+?)
МУ
№-)
rf/2,
где
m2 — xi?2 = (?2, образующая вместе с потенциалом
К
ф = — In
' т *
1 +
т
2г
(4.4.41)
(4.4.42)
(4.4,43)
самосогласованное поле. Топология полученного мира совпадает,.х топологией мира Шварцшильда — здесь также имеется перемычка между двумя совершенно симметричными мирами, и все записанные сейчас выражения
130
форм-инвариантны по отношению к преобразованию «выворачивания* координат.
Таким образом, мы видим, что подобная форм-инвариантность является в высшей степени характерной чертой теории Эйнштейна, сопутствующей ей, по крайней мере, когда речь идет о сферически симметричных полях или системах полей без неполевых источников, расположенных в конечных об* ластях пространства.
Что касается скалярного поля с массовым членом, то в этом случае задача сильно усложняется, и мы приведем здесь систему уравнений для самосогласованных скалярного и метрического полей. Вводя более удобные переменные
T+ R = V, T' можно записать:
R=W4
W" + — W' — W' V — — V' = о, г г
V"----F'-(F)2 =
V" — — V' + —{V')2-г 2
VW'
1
(TF)2 = Хф'2
ф" H-----ф' — VV — ц2елу-гФ = 0.
(4.4.44)
(4.4.45)
(4.4.46)
(4.4.47)
(4.4.48)
Конечно, из этих уравнений независимыми (в силу тождеств Бланки) являются лишь три. Из уравнений (4.4.46) и (4.4.47) можно исключить потенциал <р и его производную, повысив на единицу порядок уравнения и усилив нелинейность:
(фф'
K2Ii2
г-W^ V" + у F — F2) X
X ( V" — — F + — У'2 — VW' — І- W'2 ) . (4.4.49)
\ г 2 2 /
Исследование в близком направлении было проведено Дуань И-ши (1954).
4.5. Фермионные поля: лагранжиан и уравнения
В общей теории относительности — иначе говоря, в римановом пространстве — введение фермионных полей всегда вызывало определенные затруднения. Дело в том, что описание фермионных полей с помощью спи-норных волновых функций (потенциалов) предполагает работу с группой ортогональных преобразований, причем такой, что эти преобразования остаются ортогональными, в какой бы системе координат они нц рассматривались. В этой связи можно упомянуть анализ, проведенный Картаном (1947), который доказал, что без введения новых величип, кроме метрического тензора и его производных, спиноры не могут быть описаны в рима-нолом пространстве. Эти новые величины могут вводиться разными способами. Прежде всего — это тетрады (см. § 8.7), на которых мы сейчас коротко остановимся.
Если исходить из тетрадных преобразований (8.7.26), когда выполняются свойства антисимметрии (8.7.21), то, считая у-матрицы Дирака нон-
9* 131
вариантными 1 векторными компонентами, мы придем к выводу, что эти матрицы, вместе с тем, преобразуются при тетрадных преобразованиях Просто по закону подобия. Действительно, для этих компонент матриц Дирака
Y (®)v(P) + Y (P) Y (°)= 26р“*7, (4.5.1)
и в силу ортогональности преобразований правая часть этого антикоммутатора с гарантией не изменяется. Таким образом, мы всегда можем найти систему тетрад, для которой сразу во всем пространстве матрицы Дирака постоянны (благодаря неголономности тетрадных «координат»).
Если ковариантное дифференцирование тетрад по отношению к обычным тензорным (ко- и контравариантным) индексам записывается стандартно,
