Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(4.1.12), который также не меняет максвелловского квадрата. Поэтому Уилер предложил взять за основу некоторый крайний вариант поля, а именно тот, для которого инвариант (4.1.29) равен нулю. Тогда максвелловский квадратный корень извлекается однозначно, но в дальнейшем, вообще говоря, результат должен быть подвергнут повороту дуальности (детали см.
Выраженное, таким образом, через «геометрические» характеристики максвелловское поле подставляется затем в уравнения Максвелла (4.3.2) и (4.3.3), что дает сильно нелинейные уравнения третьего порядка для: метрического тензора, описывающего теперь одновременно как гравитацию, так и электромагнетизм.
Замысел Уилера состоит в дальнейшем в отказе от эвклидовой топологии пространства-времени (вслед за отказом от эвклидово-плоского мира), так чтобы пространство стало многосвязным, причем сквозь топологические
F^v,v = 0,
*F*AV,V = 0.
(4.3.2)
'(4.3.3)
(4.3.4)
ввиду справедливости тождества
FmF™ — +FvwtfFm = І- 6fFa
(4.3.5)
RayJit
4
(4.3.6)
Уилер, 1962, стр. 242—248).
126
ручки могут проникать отличные от нуля интегральные потоки электрических силовых линий, что соответствует эффективно появлению устойчивых электрических зарядов.
Мы не склонны, однако, придерживаться уилеровского лозунга «физика есть геометрия» и предпочитаем, напротив, считать геометрию реального мира разделом физической науки. Обсуждение некоторых аспектов этого* вопроса читатель может найти в § 6.2.
4.4. Скалярное поле
Мы рассмотрим здесь обычное скалярное поле мезонного типа, которое* понадобится нам для элементарного анализа квантовых закономерностей^ и не будем касаться новых попыток ввести специфическое «скалярное» поле, отражающее изменяющуюся гравитационную «константу» в духе теории Йордана — Дирака и, особенно, Дикке (1965).
Лагранжиан интересующего нас скалярного поля имеет вид
(заряженное скалярное поле, запись без члена взаимодействия с электромагнетизмом). Потенциал <р в первом случае является вещественной скалярной (псевдоскалярной) функцией координат, а во втором случае он должен быть комплексным, так что число независимых переменных при варьировании оказывается равным двум. Если во втором случае явно учесть взаимодействие скалярного поля с электромагнитным, то лагранжиан следует записать в виде
Запишем динамические переменные нейтрального скалярного поля. Обобщенный спин, естественно, равен нулю:
тождественно совпадает с каноническим; конечно, спиновая доля энергииг тождественно равна нулю.
Уравнение нейтрального скалярного поля имеет вид
и носит название уравнения Клейна — Гордона, хотя оно было введено еще Шрёлингером.
Уравнение заряженного скалярного поля распадается^ на два: на уравнение для ф,
(4.4.1)
(нейтральное скалярное поле) или
% = V— g (<р*ц фда—і-Лр ф)
(4.4.2)
LTo*inf = — g + (ф’ц + IeAv.ф’) (ф-^ — іеА*<()}. (4.4.3)
Maott = O1
а симметричный тензор энергии-импульса Tvn = ф,цф,г + V2On1V — <р,W1) guv
(4.4.4)
(4.4.5)
6L dL
) = У- ?П2Ф + (У— ЙГ g‘**v Ф^) .і* = 0 (4.4.6)
V >и
бф дц,
(У—?g**>,v),u + У—?ф [|Я2 — іеА»-» + е?АуА»] = о,
(4.4.7)
и уравнение для ф*,
(У—grgr^^.v) ,м. + У—?ф*[ца + ieA*;ll + еЫцА»] = 0.
(4.4.8)
127
Тензор энергии-импульса заряженного скалярного поля имеет вид Tvy = (ф,д + IeAv.ф*) (фЛ — ieAvф) +
+ (<p,v + геAvф*) (ф,д — ieA цф) — guv tjsc^lnt--. (4.4.9)
1-е
Мы остановимся здесь на вопросе о статическом сферически симметричном скалярном поле, аналогичном полю Шварцшильда. В этом случае
ф = ф(г), (4.4.10)
л гравитационное поле представляется с помощью уже знакомых по предыдущим параграфам функций R(г) и T(г). Уравнение поля, следующее из лагранжиана (4.4.1), в этом случае принимает вид
г
ИЛИ
2 (Т~ 88"%і),і = — ^2V- ёГ ф, (4.4.11)
І
Аф — (Г + Д)У — (X2e-^ = O. (4412)
Интересующие нас компоненты тензора энергии-импульса (4.4.5) имеют вид
T1O== Ф2 + е2*(ф')2] (4.4.13)
и
'k 'Y'k.
XflXi
TkH = _ 62В—_ (ф')2 + —[ц2ф2 + Є2Х(Ч'П (4.4.14)
так что уравнения Эйнштейна при т = 0 записываются как
4ДД-2(Д')2=Ф^2Ф2+ (ф')21 (4.4.15)
и при т = к как
— AT — AR + Ttk,h + R,k,h + 2Rt kTt k + Rt kR, k + (Tf)2 Tt kTt и =
= ^ [—рг )2 —Y + (ф')2) ]• (4.4.16)
Последние уравнения, как обычно, распадаются на два:
AT + Aff — (Г)2---- (Т + R)' = -^-[е-2Лц2ф2 + (ф/) 2] (4.4.17)
г 2
я 3
AT+ AR- (Г)2 + (R')2- — (T + R)' + ITfRr = х (ф')2- (4.4.1Э)
2
Комбинирование уравнений (4.4.15) и (4.4.17) дает
AT — AR —(T')2 +(R')2--(Т+ R)'= 0. (4.4.19)
Г
Любопытно, что правая часть уравнения (4.4.15), или (4.4.17), может быть выражена тождественно и иным образом, если исходить из уравненйя скалярного поля (4.4.12), а именно
—[Д(ф2) — (Г + ДПф2)7]= IЛ2е-2*ф2 + (ф')2- (4.4.20)
2
Ввиду вычислительных трудностей мы ограничимся сейчас отысканием решения для безмассового скалярного поля (fi = 0), когда прежде всего легко находится первый интеграл уравнения (4.4.12), а именно
