Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы находим тогда
W -I
Mg0 = — I —т
±r_m+-------I(JL)
к I т m2 — q2 \ г / ,і
L 1+Т + -4^- -
(4.2.70)
123
4х \ 4г? /
для лагранжиана (3.1.1); для у-матричного и тетрадного лагранжианов достаточно одной величины
гО
Отсюда следуют суперпотенциалы хронометрически инвариантной теории; из (4.2.70) и (4.2.71):
1 +
т2 — q2 т2 — q2
io т rm 4r2 / 1 \ ,, Л
0* --------------------------------------------- — } (4.2.73)
2к т2 — q2 \ г Zti
1-----------------
4г2
и из (4.2.72):
Перейдем к выражениям для плотности энергии. В хронометрически неинвариантном случае они имеют вид
т2 — q2 q2 4 г4
Wg:
KTjk / т m2—q2\2
V г 4 г2 /
W1----------------1в(1) (4.2.75)
Ч ‘+T + ^J
И
Л w2-g2W t , m2-q2\
8л т \ 4г2 /\ ' 2/тгг '
W7 =--------------------------------.-------- б (г) +
х л т т1 — q2
1
г 4 г2 <72 — т2
1 '
, — #2 , 2д2 4г2
T Т/ Si m» —j*\*' (4.2.76)
('+T+-ST5-)
В хронометрически инвариантной формулировке плотность энергии системы гравитационного и электромагнитного полей (вместе с «механическими» источниками) равна для лагранжиана (3.1.1):
т2 — q2 т2 — ф
m mL — qA г * I + — + у-X-
?-т r 4^ (4.2.77)
2_«2\2
\ 4 г2 /
а для “у-матричного и тетрадного лагранжианов:
8ят ( т2 — Я2\л/ ч , q2 — m2
=іг(1+^г^(г)+^—• <42'7)
Прежде всего отождествим член с б-функцией и плотность энергии не-•электромагнитных источников гравитационного поля. Из выражения (4.2.64) в приложении к хронометрически инвариантной теории следует:
V'-
+ (4.2.79)
т. е. выражение, в точности совпадающее с первым членом в (4.2.78), но в корне отличное от б-члена в (4.2.77). При этом просто плотность величины (4.2*.64) совпадает с б-членом в (4.2.76) [опять-таки не в (4.2.75)!]. Распределение электромагнитной энергии, в свою очередь, имеет вид:
f-
S ГГ о Ч2 (л , т , т2 — q2
Temо=-^- I+ —+ ——, (4.2.80)
goo Jcr4V Г 4 г2 /
тде
2л2
Я2 = — (4.2.81)
х
(в системе единиц Хевисайда). При этом гравитационная энергия содержит, кроме старого ньютоновского, новый член:
т т2 — q-
W;-У*-(Г,д;+ГД=-|1 + -^ тм 4; , (4.2.82)
4г*
л в принципе можно себе представить случай, когда т = 0; в этом случае плотность гравитационной энергии оказывается положительной. Очевидно, что при слабых гравитационном и электромагнитном полях автоматически выполняется принцип соответствия с теориями Ньютона и Максвелла — результат, который не мог быть получен ранее в полном объеме (см. исследование Флоридеса в рамках мёллеровского подхода к квазитензору 1958 года). Что же касается интегральной энергии, то мы приходим к выводам § 3.8.
4.3. Естественная единая нелинейная теория гравитации и электромагнетизма Райнича — Уилера
В присутствии только двух полей — гравитационного и электромагнитного — геометрия пространства-времени становится весьма специфической; а именно, для полного определения системы тензор кривизны — тензор напряженности электромагнитного поля оказывается достаточным (локально) знать только компоненты тензора кривизны и некоторую скалярную величину а, именуемую «комплексией» поля Максвелла (Райнич, 1925; Мизнер и Уилер, 1957). Иными словами, электромагнитное поле может быть выражено через гравитационные переменные, если отсутствуют все другие поля и вещество.
125
Мы не будем входить в детали этой теории и охарактеризуем лишь главные пункты, необходимые для понимания естественной единой нелинейной теории электромагнетизма и фермионного поля, которая будет предложена в § 4.9 по аналогии с теорией Райнича — Уилера.
В силу равенства нулю следа симметричного тензора энергйи-импульса электромагнитного поля (4.2.2), ввиду уравнений Эйнштейна должна обратиться в нуль и скалярная кривизна, так что уравнения поля можно записать в виде
-Rjiv= (4.3.1)
Кроме того, операция дуального сопряжения (4.1.10) позволяет весьма симметрично записать Tixv для электромагнитного поля:
для любого антисимметричного тензора 2-го ранга. Отсюда можно получить важное соотношение
которое такжр нетрудно вывести с помощью процедуры, аналогичной тойг которую мы применим при раскрытии выражения (5.4.48).
Выражение (4.3.4) можно назвать «максвелловским квадратом» тензора напряженности электромагнитного поля; этот квадрат допускает «извлечение корня», иначе говоря обратное определение тензора напряженности Fixv, если речь идет, по крайней мере, не о «нулевом» электромагнитном поле, т. е. не о поле с равными нулю инвариантами (4.1.27) и (4.1.29). В этом случае лоренцово преобразование координат позволяет сделать-
3-векторы напряженностей электрического и магнитного полей (локально) параллельными друг другу.
С другой стороны, преобразование дуального сопряжения, меняя значения инвариантов (4.1.27) и (4.1.29), оставляет неизменным «максвелловский квадрат». Это обстоятельство показывает, что извлечение «максвелловского корня» должно быть не вполне однозначной операцией; а именно, эта операция определена с точностью до произвольного поворота дуальности
