Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
A«gafi = Afi. (1.24)
При этом мы считаем Aa и Aa в (1.24) соответственно контравариантны-ми и ковариантными компонентами одного и того же вектора А. В пределе плоского мира в декартовой системе координат, в соответствии с частной теорией относительности, мы примем4:
10 0 0
0—1 0 0
0—1 о
0 0—1
(1.25)
0 1
Локально с помощью соответствующим образом подобранного преобразования координат метрику всегда можно в любой точке привести к такому виду и в римановом пространстве. Назовем теперь вектор А временноподобным., если
AvA' > 0, (1.26)
пространственноподобным, если
AvA' < 0, (1.27)
и изотропным (иногда говорят: «нулевым», «светоподобным»), если
AvA' = 0. (1.28)
По ряду соображений часто вводят более элементарные объекты, чем метрика, предназначенные, в частности, для конструирования последней. Это — тетрады (или реперы, четверка векторов, определенная в каждой точке пространства) gp (а):
gvi(a)gv( a) = gw, (1.29)
или ^-матрицы в представлении Зоммерфельда:
yYnjYv + YvYjx = 2 g^L (1.30)
С помощью символа следа («шпура») можно также записать
(1*31)
gyxv = —Sp (Yu Yv).
В представлении Зоммерфельда Y~MaTpnn;bI рассматриваются как компоненты истинного вектора (хотя каждая компонента этого вектора, в свою очередь, является матрицей!). Зоммерфельд (1956) предложил такой подход к матрицам Дирака в частной теории относительности, но он без чфУДа обобщается на общую теорию и риманово пространство. Как тетрадный, так и матричный подходы к гравитационному (метрическому) полю мы подробнее рассмотрим в разделе 8, добавив к ним также обсуждение кватернионов.
Важную роль в тензорном анализе играет также символ Леви-Чиви-ты антисимметричный по всем индексам (число индексов совпадает
с размерностью пространства), причем еош = +1- Ясно, что
6|xv^p6jxvA,p — 4! = 24.
(1.32)
1 Это условие определяет лишь сигнатуру метрики.
10
Символ Леви-Чивиты используется для образования детерминанта
Def
SnvXpDetIiflatII = 6aPv6#an#Y^6p и алгебраического дополнения
AT»
Aaj йах =
д 1
-------Det||<2apll = ~ 6aa0v?T.uvX#aM-tfpv#vA,*
д&ат 3!
(1.33)
(1.34)
Этот символ является не тензором, но может быть интерпретирован двояко: либо как плотность аксиального контравариантного тензора веса (+1), либо как плотность аксиального ковариантного тензора веса (—1), причем оба случая не противоречат друг другу и реализуются одновременно *. Следует отметить, что большинство авторов не указывают свойства этой величины при инверсиях. Итак, если обозначить
EllVKp — У—S
то получится аксиальный тензор, преобразующийся по закону
Еа$уь{х')= sgn /
дх* дху дх% дхР
дх'а дх'$ dx'v дх'6
E Iivi р (%).
В свою очередь, поднятие индексов в (1.35) дает
Е*№ = -^apv6 ---------^r-
g i—g
(1.35)
(1.36)
(1.37)
Очень важно, что произведение двух символов Леви-Чивиты (без суммирования по индексам) можно представить в виде комбинации символов Кронекера (1.6). Действительно, ввиду общего определения символов Леви-Чивиты,
’+I
—1
о
(1.38)
$и поэтому мы можем записать
брАр ®Отсое— Ev^kp E
60 еТ с CO Cl
ц.
60 е T о CO ев у Oy Oy Oy
Ъ1Ь1КЫ
60 еТ о CO с Є
р Op Op Op
(1.39)
где переход к аксиальному тензору очевиден. Если обычным образом (высшая алгебра) раскрыть последний детерминант, то легко получить следующую полезную формулу:
JiOsToCOoe еО XtA6Aco і A0A6AtAco AOA6AwAt і оО SG) о Є At
^jjuvXp ^отсое — OjjuOyOxOp OjjtOyOxOp -J- Oj1OyOxOp >- OjjuOyOxOp -f- OjjuOv OxOp
60 еООеТеЕ і ST sOfi?s(0 it сОїСОїб і с TeCOedcE еТеСОеЄеО і J1Oy OxOp + OijuOvOxOp — OljuOyOxOp+ OjtOv ОхОр — OjxOv OkOp+
+ A T еЄ еСО еО AtA6AOsCO і AcdAOfiTeE AwAOA6At і AojA6AOsT
OjxOyOxOp — OjjuOvOxOp -J- OjxOyOxOp — OjxOyOxOp + OjxOvOxOp —
ScoA6AtAO і AcoAtA6AO AcoAtAOA6 і A6AtA0Aco A6AtAcoAO і
JxOyOxOp + OjiOyOхОр — OjxOyOxOp -J- OjxOyOxOp — OjxOyOxOp -J-
+d^6xT6p—6ІК61&; + бдаб;—в* в; ьіь*. цло)
1 Плотность тензора отличается от собственно тензора наличием в законе преобразования дополнительного множителя |/|“w, где J — якобиан преобразования, а из — вес этой плотности (см. выше).
11
Ее последовательное свертывание дает
еилр80тшр=-ада* + ьі-&;ьж + KKbi-ада; (i.4i>
BllVXp IW = 2 (6°s; - s;s°v); (1.42)
6,^8^=316° (1.43)
и, наконец, (1.32).
Перейдем теперь от тензорной алгебры к собственно анализу. Отметим, что частная производная вектора является уже нетензорной величиной:
д / Oocfx \ дха дх$ д^ха
{А* vV==d^(d^Aa{x)) = д^1^Аа"р + дх'»дх'- Аа- (1'44>
Устранить последний член, вызывающий отклонение от тензорного закона преобразования, можно, введя связность — трехиндексный объект \ преобразующийся по закону
Pef дха дх& дхГх « дх'% д2х«__
M.V (^ ) — дх,^ dx,v дху ар (^)+ дха Qx^dxZv •
Тогда конструкция
(1-46)
является истинным тензором и называется ковариантной производной вектора All. Часто используется обозначение
All* = AlliVgvK (1.47)
G помощью ковариантной производной естественно определить абсолютный дифференциал:
