Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
сят от номера і. Такая линейная зависимость между радиусом-вектором Xі, скоростью Vі и ускорением Wi означает, что движение совершается все время в одной плоскости. Удобно, не нарушая общности, выбрать для этого движения плоскость z = 0 (0 = п / 2).
От контравариантных компонент уравнения геодезической перейдем теперь к его ковариантным компонентам:
При движении в плоскости z ±= 0 метрику достаточно взять в виде
Для изотропной геодезической (свет) ds = 0, a dx° Ф 0, так что / = оо* В случае же временно-подобной геодезической, взяв предельный случай г оо, когда dafi-^ds, найдем / == 1.
Другой первый интеграл уравнения геодезической легко получить, взяв
V = 2. Уравнение (3.6.24) принимает тогда вид
где в качестве постоянной интегрирования взято произведение hj для тогог чтобы выделить всегда конечный множитель h. Деля интеграл (3.6.27) на интеграл (3.6.29), получаем
Последние две формулы выражают II закон Кеплера — «закон площадей», принимающий в данном случае более сложную форму, чем он имеет
(3.6.24)
(3.6.25)
Рассмотрим случай v = 0; Тогда
(3.6.26)
(3.6.27)
(3.6.28)
откуда
(3.6.29)
(3.6.30)
в обычной ньютоновской теории, Этот закон, конечно, лучше формулировать на современном языке как сохранение момента импульса пробного тела в поле центральных сил, так как в общей теории относительности площадь не является непосредственно наблюдаемой величиной. В приложении к свету, конечно, вместо собственного времени s следовало бы брать канонический параметр; однако в данных вычислениях это несущественно.
В дальнейших вычислениях удобнее воспользоваться известным первым интегралом геодезической (1.58):
і- /OftQA
guv -t- = coast. (3.6.31)
ds ds
Умножив обе части этого равенства на ds2 (заметим, что const *ds2 = ds2), разделив на dt2 и явно подставив метрику Шварцшильда, получаем, обозначая J2 = о-1:
•і4Нт4)’-<,+жг*'Ш
г ' V m^m г J
(3.6.32)
Отсюда после простых преобразований и замены г = гг"1, с учетом соотношения (3.6.30), найдем
Упростим это уравнение траектории пробного тела. Приближенное (с точностью до С2) уравнение имеет вид
/ du \2 1
\ d~ J+U* =hT1 + 8Си + Ж2и2 “ a(1 + 4Си + 6С%2) 1 ¦ (3.6.34)
dcp )Ы і
жрз
d*u г (5 — сг) 1 2-а
. (3.6.35)
Чтобы избавиться от нелинейности, продифференцируем это уравнение HO Ф; сократив на 2du / сйр, получим:
dq:2
Производя замены
фі/f - 6^(5 —а)_ , Л2 — 6Сг(5 — а)
получаем уравнение траектории в црортом виде d2u 1
(3.6,37)
dil:2 1 I ’ интеграл которого равен
1
и = — [1 + є cos (if — a)]. (3.6.38)
Мы получили уравнение кривой второго порядка (эллипс, гипербола либо парабола, в зависимости от выбора постоянной интегрирования е — эксцентриситета). Вторая постоянная интегрирования, а, определяет ориентацию траектории относительно полярной оси. Дальнейшее исследование решения требует конкретизации типа геодезической.
89
Случай временно-подобной геодезической (орбита планеты). Тейерь
о = 1, так что
Заметим, что, хотя радиальная координата при изменении “ф на 2я возвра щается к своему прежнему значению, это совсем не соответствует изменению на 2я истинной угловой координаты <р, так что орбита будет незамкнутой. Как известно, большая полуось орбиты равна
Здесь задается параметр I1 тогда как параметр h является вторичным и выражается через I и С:
Теперь нам достаточно учитывать лишь малые вплоть до 1-й степени С, так что эффективный «угол» *ф можно представить как
Следовательно, при переходе между двумя последовательными одинаковыми значениями г «угол» ф изменяется на 2я, а истинный уток ф — на
Это и есть тот угол, на который поворачивается орбита планеты (для опре дел еййЬсти — йёрйгеяйй) при одном обороте вокруг Солнца, что и характеризует незамкнутость орбиты. Для шганётй Меркурий, поскольку она расположена ближе всего к Солнцу, и поэтому находится в наиболее сильном гравитационном поло, так что Движется быстрее других планет, за столетие, согласно предсказанию теории, должен накапливаться поворот перигелия на 43",0. Наблюдения дают в этом случае очень близкое значение угла поворота, равное (42",6 ± 0,9) за столетие. Это — одно из лучших подтверждений общей теории относительности, хотй и следует помнить, что наблюдаемое значение поворота перигелия выделено из его полного поворота, обязанного целому ряду эффектов, и может содержать довольно высокую систематическую ошибку, которую крайне трудно учесть (см. «Гравитация и относительность», 1965).
Случай изотропной геодезической (луч света). Теперь а = 0, и удобнее взять решение (3.6.38) в форме
Ьг _ 24 C2 2С
(3.6.39)
(3.6.40)
A2 = 2 Cl + 24 С2.
(3.6.41)
(3.6.42)
Дф = 2я -J- Д,
(3.6.43)
где
_ 6С 6пут
А = 2я — г
(3.6.44)
и = —[cos р + cos (-if — а)],
(3.6.45)
где
р = arccos— и р = Ife1
(3.6.46)
Так что Л 2
и =-------COS
if a + P 2
(3.6.47)
P
90
Будем иметь в виду, что в случае света (a = 0)
у і
ЗОС2
A2
TI
