Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
В римановом пространстве Vik может быть выбрана система координат х* (греческие индексы принимают значения 0, 1, 2, 3). Переход к другой системе координат а/*4 осуществляется заданием соотношений
x'» = f»(x)szzx'»(x), (1.4)
где функции /** считаются достаточное число раз дифференцируемыми. Кроме того, преобразованию (1.4) должно отвечать обратное преобразование, для чего необходимо, чтобы якобиан преобразования (1.4) был отличен от нуля. Тогда
дх? дх'$ а
где 6уа — символ Кронекера:
V^ffl при h, = v,
й to при IUi=H=V. (1-6)
Скаляр (или инвариант) есть величина, не изменяющаяся при преобразовании координат (в фиксированной точке):
<р'(*')^Ф(*). (1.7)
Ковариантный вектор Av. и контравариантный вектор А» суть четверки компонент, подчиняющихся соответственно законам преобразования
aSW = -^M*)- (1-8)
И
A'v-(x')= -^-Аа(х). (1.9)
Обобщением их служит тензор ранга г = г± + г2, Гі раз ковариантный и г2 раз контравариантный (математики чаще вместо слова «ранг» употребляют слово «валентность», обладающее некоторыми преимуществами) : это — совокупность 4Г компонент, преобразующихся как
'а,...аг дар* дх^ дха' дх** т* ~ vri f1 1Л>
Тензорная плотность веса w определяется таким же образом, только в законе преобразования справа добавляется в качестве множителя \J\~W (/ — якобиан преобразования координат). Если видоизменить закон преобразования (1.10) так, чтобы в правой части присутствовал множитель Def
sgn/ (sgn/ = / / |/| ), то мы получим закон преобразования аксиального тензора соответствующего ранга (иногда говорят: псевдотензора), а наличие обоих указанных множителей одновременно определяет закон преобразования аксиальной тензорной плотности. Мы будем обозначать плотности жирными буквами. Скаляр является тензором ранга 0, а вектор — тензором ранга 1. Аксиальный скаляр практически всегда называют псевдоскаляром; однако при его определении может возникнуть неоднозначность, если рассматривать отдельно пространственную и временную инверсии; в связи с этим удобно использовать формализм Зельманова (см. § 8.9).
Сумма соответствующих компонент двух тензоров одинакового ранга и соответствующих вариантностей вновь является компонентой тензора, обладающего характеристиками исходных тензоров.
При перемножении компонент двух тензоров мы вновь получаем тензор, но более высокого ранга, равного общему числу свободных индексов в произведении. Автоматически изменяется и закон преобразования.
Если в каком-либо выражении (тензоре или произведении тензоров) индекс повторяется дважды (один раз как ковариантный, а другой раз — контравариантный), то по этому индексу производится суммирование (по всем значениям, которые может принимать индекс; в случае греческого индекса — от 0 до 3). Это правило называется правилом Эйнштейна; мы уже воспользовались им в предыдущих соотношениях. При этом говорят
о свертывании тензора по данному индексу.
Тензор называется симметричным, если
S1XV = Sviil (1.11)
и антисимметричным (кососимметричным), если
= Ачц, (1.12)
Із
Эти свойства не зависят от выбора системы координат (являются инвариантными).
Иногда очень удобно совокупность индексов некоторой величины (ко-
вариантных и контравариантных) обозначать с помощью одного собира-
тельного индекса, записывая, например, Ав.
При бесконечно малых преобразованиях координат
х'» = х» + %» (1.13)
бесконечно малое (инфинитезимальное) преобразование претерпевают и; тензоры. Запишем преобразование Ав, соответствующее (1.13), в виде
бАв = Ав'(х')-Ав(х) (1.14>
и положим
6АВ = ав I%л ?,т. (1.15)
Здесь — инфинитезимальный вектор, являющийся функцией причем обычную частную производную по координатам («градиент») мы будем обозначать с помощью запятой:
a Def Qpa
sh <U6>
символ «б» обозначает изменение следующей за ним величины при преобразовании координат (не вариация!); под величиной ав\ J (коэффициентом преобразования) мы будем понимать
ав = Асав
(1.17)
где по повторяющемуся собирательному индексу С производится суммирование (цо всей совокупности обычных индексов, которые включены в собирательный; если в него входят, кроме тензорных индексов, также матричные, то суммирование распространяется и на них) ^ Например, если собирательный индекс В соответствует одному ковариантному и одному контравариантному обычным индексам (Ав — смешанный тензор ранга 2Г А1), то
= Ац ба Aa б|х (1.18)
V
ац
а і т
а о v т * v а
а
г - б]Л бр 6ff б|Х бр 6ff. (1.19)
Если же Ab — скалярная плотность (вообще без индексов), Ab = <р, то а == — фб^; a 11 = — 6J. (1.20)
Дифференциалы координат образуют контравариантный вектор; однако понятие квадрата интервала невозможно ввести без помощи специального тензора второго ранга, который называют метрическим тензором ^vr
ds2 = gllvdx^dxv. (1.21)
Обратный ему тензор определяется условием
Znv glv = б?, (1.22)
откуда видно, что
Def
Ttetgiiv = S^O. (1.23)
9
Метрический тензор в римановой геометрии является симметричным. Он служит для определения квадрата любого вектора, а не только dx а также для поднятия и опускания тензорных индексов, например: