Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(ds2) свет = goodx02 + 2giodxidx° + g^dx'dx* = 0. (3.6.1)
Решая это уравнение относительно интервала координатного времени dxP, получаем
dx° = — — dxi ± |/ gioghI. dxi dxk — — dxi dxk. (3.6.2)
Soo g200 goo
Разность этих двух корней дает интервал координатного времени между испусканием исходного сигнала и приемом отраженного одними и теми же часами. Путь, пройденный светом в обе стороны, равен этому интервалу» если измерение проводится в системе, связанной с данными часами; если же отказаться от часов, движущихся цол геодезической, и взять какие-то произвольные часы, то в связанной с ними системе
fgocAdx0 = 2 d% (3.6.3)
(двойка справа отвечает путешествию светового сигнала туда и обратно). Отсюда
dx = ]/( gi0gk0 — gik ) dxi dxk.
\ goo '
Это важное соотношение удобно переписать как
d№ = bikdxtdx*, (3.6.5)
где
biu = giogko I goo — gik (3.6.6)
(3.6.4)
85
— трехмерный метрический тензор. Заметим, что
ds* = <№ — dX2,
(3.6.7)
где
(3.6.8)
Очень существенно, что как dX, так и dx не изменяются при тех преобразованиях координат, которые не выводят за рамки одной и той же системы отсчета. Здесь полезно определить понятие системы отсчета более явно, чем просто на базе интуиции. Все координатные системы, которые связаны между собой преобразованиями, не включающими движения, относятся к одной и той же системе отсчета. Иными словами, мы можем любым способом менять нумерацию точек в 3-мерном пространстве и произвольно регулировать ход часов в каждой такой точке, оставаясь в данной фиксированной системе отсчета:
хг 0 = х'0 (oft, Xij я2, я?), хг 1 = хг 1 (я1, я2, х?), дхт 1 / дх? — 0. (3.6.9)
хронометрической инвариантности, и соответствующая теория особенно подробно разработана Зелъмановым (см. § 8.9).
Пусть наши часы покоятся в гравитационном поле (dx1 = 0) в точке I; тогда
Для других часов, покоящихся в точке И, где гравитационное поле отличается от поля в точке I, можно написать аналогичную формулу. Координатное время в обоих случаях мы возьмем одно и то же. Тогда
Вспоминая связь с ньютоновым гравитационным потенциалом (3.5.4),
Этот вывод можно сформулировать так: часы, находящиеся в более сильном гравитационном поле, идут медленнее, чем часы, находящиеся в более слабом поле. Наблюдается этот эффект на фотонах, излучаемых атомами; эти фотоны излучаются с определенными частотами, характерными для атомных спектров и одинаковыми для всех атомов данного сорта в данном исходном состоянии, где бы эти атомы ни находились. Поэтому мы можем сравнить частоты, приходящие к нам от атомов, находящихся в другом (чаще: более сильном) гравитационном поле, и частоты, излучаемые в лаборатории. Этот эффект называется гравитационным красным смещением, которое не следует смешивать с космологическим красным смещением, вызванным разбеганием галактик (см. § 3.4). В последнее
Инвариантность по отношению к таким преобразованиям носит название
(dr) і = У (gfoo) I^r0.
(3.6.10)
(3.6.11)
goo = I + 2ф,
и считая поле слабым (f<p| ^ 1), приближенно получаем
(3.6.12)
(3.6.13)
где Дф = фц — фі. Обозначая
(3.6.14)
ATfT = Дф.
(3.6.15)
86
время экспериментальная проверка гравитационного красного смещения не вызывает затруднений; этот эффект удается наблюдать в лабораторных условиях, когда излучающие атомы и атомы сравнения располагаются на уровнях, разница между которыми составляет всего несколько метров (см. «Новейшие проблемы гравитации», 1961).
Другое наглядное объяснение красного смещения опирается на квантовые представления. Пусть в точке А излучается фотон, который мы наблюдаем, когда он приходит в точку В (рис. 3). Чтобы попасть йз точки А
Рис. 3. Ход ньютоновского гравитационного потенциала
в точку B1 фотону нужно «подняться из яйы» гравитационного потенциала, и он тратит на это энергию, а с уменьшением энергии пкд&ет и частота фотона, определяемая, как известно, формулой
E = hv =V/Т. (3.6.16)
Изменение же этой энергии (массы) связано с изменением Частоты (и периода «колебаний») фотона, очевидно, по закону
Am = AE = hAv = —КАТ / Г2. # (3.6.17)
В свою очередь, эта работа равна изменению потенциальной энергии фотона, взятой с обратным знаком:
—AU = —Д(тгмр) = —Awi-ф — /ті Аф. (3.6.18)
Сравнивая обе формулы, получаем
Atti (1 + ф) = —тпДф, (3.6.19)
или, пренебрегая малыми второго порядка,
Am = — ттгДф, Av = тАф, AT = ГАф, (3.6.20)
что совпадает с результатом (3.6.15).
Выясним теперь, к каким эффектам приводит в общей теории относительности гравитация в движении различных объектов; для этого рассмотрим движение пробных масс (геодезические линии). Пространственная часть уравнения геодезической приводится к виду
(I2Xi / I \ dxa dx$
ds2
Если ограничиться здесь движением в поле Шварцшильда (как это делается обычно) и вспомнить, что соответствующая метрика дйагональна, мы получим
Wi = Axi — Buii (3.6.22)
87
где введены обозначения
Axi
(3.6.23)
ds
а величины А ж В, благодаря свойствам метрики Шварцшильда, не зави-
