Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
-г- (dux*) — ApvA, Wv4ux% — Wvv (duxУ) —
du du du du
Dv-(dux^)-~(v^vv) = 0. (3.5.31)
dv dv
Рассматривая теперь все прочие функции б#*\ получаем
DvVvIdv = 0. (3.5.32)
Последнее уравнение утверждает, что взятые нами мировые линии являются геодезическими (можно сказать, что мы получили новым путем уравнение геодезической). В силу этого уравнения последний член в (3.5.31) обращается в нуль. Кроме того, мы имеем теперь право вносить V^k под знак абсолютного дифференцирования по v. Поэтому в предпоследнем члене уравнения (3.5.31) можно произвести следующие перегруппировки сомножителей:
*??<«¦*•>- ?[-?-<«¦*•> Ь-гМ^-)] • <з-5-зз>
6 Ы. В. Мицкевич 3|
Мы воспользовались здесь также соотношением (1.73)
DudvXv = Dvduxv,
(3.5.34)
которое справедливо, так как мы имеем дело фактически с «частным» ко-вариантным дифференцированием. Теперь, однако, видно, что
[для скаляра ковариантная производная совпадает с обычной; вспомним также первый интеграл уравнения геодезической (1.58)]. Итак, окончательно уравнение (3.5.31) приводится к виду
Это — известное уравнение девиации геодезических (Леви-Чивитаг 1927; Синг и Шилд, 1956; Синг, 1963), названное так по той причине, что оно описывает сравнение двух близких геодезических, расходящихся (либо сходящихся) ввиду наличия внешнего гравитационного поля. Действительно, возьмем уравнение геодезической (3.5.32) и ковариантно продифференцируем его по и:
[мы умножили уравнение (3.5.32) на dv, чтобы читателю было удобнее сравнивать его с выражением (1.71)]. Меняя порядок дифференцирования и учитывая равенство (1.74), получаем
(DvDuVv) = (DvDu — DuDv)Vv = (Vv. w х — vv; ») dvx%dux** =
вновь деля на dv и учитывая (3.5.34) и (3.5.19), снова получаем уравнение девиации геодезических (3.5.36).
Тот факт, что мы получили сразу как уравнение геодезической (3.5.32), так и уравнение девиации (3.5.36) из единого вариационного принципа
(3.5.21), (3.5.20), совершенно естествен, так как лагранжиан (3.5.20) представляет собой дифференциал лагранжиана одной частицы по и, т. е. является разностью лагранжианов двух частиц:
в котором оно может быть истолковано как появление относительного ускорения у двух пробных тел в искривленном пространстве. В обеих частях этого уравнения стоят векторы, так что стоящая справа относительная «сила», действующая на два тела со стороны внешнего гравитационного поля, оказывается абсолютной, не уничтожимой путем преобразования координат. Это обстоятельство, однако, не вступает в конфликт с принципом эквивалентности, так как для обнаружения относительной силы необходимо две частицы, т. е. нелокальный эксперимент, тогда как принцип эквивалентности строго локален. Чем меньше 4-мерная область, в которой мы следим за поведением пробных масс, тем труднее обнаружить относи-
(3.5.35)
(duxv) = R %vk VWduXh.
dv dv
(3.5.36)
DuDvVv = 0
(3.5.37)
(3.5.38)
dv
(3.5.39)
[вспомним выражения (3.5.22), (3.5.19), (3.5.18) и (3.5.20)]. Уравнение девиации геодезических можно записать в виде
V» = R* f>vxvf> Vv duxK,
dv
(3.5.40)
82
тельную силу; так можно сформулировать здесь принцип эквивалентности Эйнштейна.
Заканчивая обсуждение вопроса об относительном движении тел в заданном гравитационном (метрическом) поле, сделаем еще несколько замечаний. В отношении абсолютных 4-скорости и 4-ускорения известно, что они взаимно ортогональны:
То же самое имеет место для абсолютной 4-скорости и относительного 4-ускорения, как видно из соотношения (3.5.35). Более того, из этого соотношения следует, что произведение VvVv должно сохраняться вдоль геодезической. Так как мы всегда можем выбрать такой способ измерения «времени» V, чтобы гиперповерхность и = const вначале была ортогональна геодезической в точке их пересечения, то при этом мы обнаружим, что скорости всюду ортогональны:
Однако и без этого легко увидеть, что если вектор vv временно-подобен, то вектор пространственно-подобен. Пространственно-подобный характер скорости не должен нас смущать, ибо речь идет об относительной скорости, равной разности двух близких скоростей (в смысле вычитания 4-мерных векторов, а не «релятивистского закона сложения скоростей» частной теории относительности).
Вариационные принципы требуют для вывода уравнений движения пробного тела постулировать форму интеграла действия. Однако уравнение движения может быть получено и непосредственно из уравнений метрического (гравитационного) поля как условие их интегрируемости. Действительно, как обсуждалось в § 3.2, в левой части уравнений Эйнштейна
(3.2.12) стоит консервативный тензор Gliv, так что должна обращаться в нуль и дивергенция правой части этих уравнений. Выполнение этого требования связано с инвариантностью действия для системы полей, если в лагранжианах метрику представляет тензор как это видно из уравнения (2.4.50). Таким образом, дважды свернутые тождества Бианки, с одной стороны, и инвариантность лагранжианов — с другой, требуют выполнения равенства
Мы взяли здесь плотность симметричного тензора энергии-импульса, так как будем далее использовать плотность массы р, которую лучше всего представить в виде скалярной плотности. При этом масса является интегралом по пространственно-подобной гиперповерхности от р V1а 4-скорость V14 одновременно может играть роль вектора нормали к этой гиперповерхности (имея в виду постулированную при определении вектора v** его единичную нормировку). Рассмотрим случай некогерентной жидкости типа использованной в § 3.4; тогда
