Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
А* = у р. (3.5.9)
G другой стороны, в теории Ньютона
Дф = 4 пур. (3.5.10)
Действительно, для точечной массы-источника M и пробной массы т в поле этого источника
<F=-Y-, -F=-Y-^-, (3.5.11)
rm т2 г
а также
Дф = 4луШ)(г), (3.5.12)
так как
А — = —4яб (г). (3.5.13)
г
Сравнение (3.5.9) и (3.5.10) дает
х = 8jvy; (3.5.14)
переходя к обычной системе CGS, можно взять
х = -^ (3.5.15)
C2
так, чтобы
[х] = сле+*-г-ь [Гоо] = еле-8-г+*. (3.5.16)
Мы можем теперь выразить и постоянную интегрирования С в решении Шварцшильда (3.3.40) через гравитационную постоянную и массу «шварцшильдовского центра», если, считая С/г<Щ 1, подставим Лоо из
(3.3.40) в (3.5.4), а затем сравним результат с (3.5.11). Мы получим при этом
1_м=«м
2 16я '
Эта величина, имеющая размерность длины, называется гравитационным радиусом источника данного поля (часто так называют вдвое большую величину). Полученные здесь выводы понадобятся при расчете эффектов, которые рассматриваются в следующем параграфе.
Хотя этот расчет будет производиться с помощью уравнения геодезической, такой подход к нему не вполне законен. Дело в том, что движение (особенно в общей теории относительности) должно рассматриваться относительно каких-то объектов. Однако уравнение геодезической (3.5.1) описывает это движение относительно системы координат, которая, конечно, не является наблюдаемым объектом. Хотя указание метрического тензора в каждой точке пространства — времени и позволяет судить о виде и характере эволюции системы координат (например, мы можем таким образом отличить декартову систему от сферической), тем не менее этот подход ,реализуется полностью лишь в плоском мире и частично — на фоне плоского мира (касательного к реальному искривленному). Следовательно, в общем случае движение следует описывать, взяв два (по меньшей
79
мере) тела и сравнивая их геодезические. Эти тела мы впять понимаем как пробные.
Рассмотрим сначала две мировые линии, не предполагая, что они являются геодезическими. Будем нумеровать точки вдоль них с помощью параметра V (для временно-подобных кривых это — собственное время, для изотропных — некоторый «канонический» параметр; пространственно-подобных кривых мы здесь не рассматриваем, так как исследуем движение пробных масс); поперек мировых линий пусть изменяется параметр и (нумерация мировых линий в семействе). Фактически таких поперечных направления три, так что следовало бы взять три параметра щ (не вектор!), однако мы будем обычно писать просто и, так как это ничего не изменит в расчетах. Если рассматриваемые две мировые линии близки друг к ДРУГУ» то можно построить дифференциал dux'\ являющийся инфините-зимальным вектором 1 и имеющий смысл относительного положения ^очек, движение которых описывается мировыми линиями, в момент «времени»
V. Относительную скорость следует определить как
который мы и попытаемся использовать в качестве «функции Лагранжа механики». Рассмотрим уравнения, вытекающие из вариационного принципа.
1 Строго говоря, существуют три таких вектора соответственно числу независимых
параметров и и
V» = ~(dux»). dv
(3.5.18)
В свою очередь, «абсолютная» скорость равна
„Bel dvx*
V»
(3.5.19)
Из этих двух векторов нетрудно построить инвариант L = VaVa,
(3.5.20)
(3.5.21)
V
положив здесь и в (3.5.18), (3.5.19)
dv = dvs = ~^dvxv dbtf* ¦ g^v.
Прежде всего заметим, что
b(L dv) = 8vv-Db(duxv)-\- vv-6[Dv(duxv)].
(3.5.22)
(3.5.23)
(3.5.24)
Если теперь учесть, что
I D Sx^*
6(ln |dy I )= —6[ln(dy)2] = v%—-------------,
Z av
(3.5.25)
то мы получим для Svv выражение
dv
(3.5.26)
В свою очередь,
б Dv(duxv) = S (dvdux4 + Гіл dux»dvx*-j
(3.5.27)
80
после несложных преобразований приводится к виду
б Dv (duxv) = DvDudxv + RZ14, dux%dvx?bxv — Г^л, Dv (duxx) ба:*1. (3.5.28)
Поэтому вариация (3.5.23) принимает вид
би (Ldv) = dv ^vvDubx* + (guv — vv.v4)^(duxv) ба?»* j —
— DuSxv dv — { (dux») — jR.ovx Wvv duxx —
dv v dv dv
Dv Dv Dv Dv I
— V^V4------—(duxv)------~(duxv)——(Wvv) >gius6xadv. (3.5.29)
dv dv dv dv )
При этих вычислениях мы приняли во внимание переставимость знака дифференциала и операции варьирования и ковариантное постоянство метрического тензора. Подставляя полученный результат в вариацию действия,
б 5 Ldv= 5 Ь (Ldv), (3.5.30)
V V
мы можем отбросить «дивергенциальный» член, предполагая, как обычно, что вариации (и их первые производные по и) обращаются в нуль на границах области интегрирования. При этом, однако, в подынтегральном выражении сохранится один член, содержащий бяц под знаком дифференциала (цо и). Его бессмысленно выделять в «дивергенцию» (здесь: дифференциал) , так как интегрирование проводится по у, а не по и. Заметим, однако, что наши вариации бя^ зависят как от v, так и от и. Вместе с тем они произвольны, а равенство нулю вариации интеграла действия не должно зависеть от конкретного выбора обращающихся в нуль на границах; точно так же и уравнения, следующие из принципа экстремума действия при конкретных выборах ба^, выполняются универсально и не зависят от б#*4, что совершенно естественно. Итак, положим сначала, что вектор бя^ ковариантно постоянен вдоль направления и, т. е. DuSx* = 0. Тогда в б (Ldv) исчезает член — (Drvv I dv) Du8xvdv, и мы получаем (в силу произвольности во всех остальных отношениях бж^) уравнения