Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мицкевич Н.В. -> "Физические поля в общей теории относительности" -> 36

Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.

Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности — М.: Наука, 1969. — 329 c.
Скачать (прямая ссылка): fizicheskiepolyavobsheyteorii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 141 >> Следующая


А* = у р. (3.5.9)

G другой стороны, в теории Ньютона

Дф = 4 пур. (3.5.10)

Действительно, для точечной массы-источника M и пробной массы т в поле этого источника

<F=-Y-, -F=-Y-^-, (3.5.11)

rm т2 г

а также

Дф = 4луШ)(г), (3.5.12)

так как

А — = —4яб (г). (3.5.13)

г

Сравнение (3.5.9) и (3.5.10) дает

х = 8jvy; (3.5.14)

переходя к обычной системе CGS, можно взять

х = -^ (3.5.15)

C2

так, чтобы

[х] = сле+*-г-ь [Гоо] = еле-8-г+*. (3.5.16)

Мы можем теперь выразить и постоянную интегрирования С в решении Шварцшильда (3.3.40) через гравитационную постоянную и массу «шварцшильдовского центра», если, считая С/г<Щ 1, подставим Лоо из

(3.3.40) в (3.5.4), а затем сравним результат с (3.5.11). Мы получим при этом

1_м=«м

2 16я '

Эта величина, имеющая размерность длины, называется гравитационным радиусом источника данного поля (часто так называют вдвое большую величину). Полученные здесь выводы понадобятся при расчете эффектов, которые рассматриваются в следующем параграфе.

Хотя этот расчет будет производиться с помощью уравнения геодезической, такой подход к нему не вполне законен. Дело в том, что движение (особенно в общей теории относительности) должно рассматриваться относительно каких-то объектов. Однако уравнение геодезической (3.5.1) описывает это движение относительно системы координат, которая, конечно, не является наблюдаемым объектом. Хотя указание метрического тензора в каждой точке пространства — времени и позволяет судить о виде и характере эволюции системы координат (например, мы можем таким образом отличить декартову систему от сферической), тем не менее этот подход ,реализуется полностью лишь в плоском мире и частично — на фоне плоского мира (касательного к реальному искривленному). Следовательно, в общем случае движение следует описывать, взяв два (по меньшей

79

мере) тела и сравнивая их геодезические. Эти тела мы впять понимаем как пробные.

Рассмотрим сначала две мировые линии, не предполагая, что они являются геодезическими. Будем нумеровать точки вдоль них с помощью параметра V (для временно-подобных кривых это — собственное время, для изотропных — некоторый «канонический» параметр; пространственно-подобных кривых мы здесь не рассматриваем, так как исследуем движение пробных масс); поперек мировых линий пусть изменяется параметр и (нумерация мировых линий в семействе). Фактически таких поперечных направления три, так что следовало бы взять три параметра щ (не вектор!), однако мы будем обычно писать просто и, так как это ничего не изменит в расчетах. Если рассматриваемые две мировые линии близки друг к ДРУГУ» то можно построить дифференциал dux'\ являющийся инфините-зимальным вектором 1 и имеющий смысл относительного положения ^очек, движение которых описывается мировыми линиями, в момент «времени»

V. Относительную скорость следует определить как

который мы и попытаемся использовать в качестве «функции Лагранжа механики». Рассмотрим уравнения, вытекающие из вариационного принципа.

1 Строго говоря, существуют три таких вектора соответственно числу независимых

параметров и и

V» = ~(dux»). dv

(3.5.18)

В свою очередь, «абсолютная» скорость равна

„Bel dvx*



(3.5.19)

Из этих двух векторов нетрудно построить инвариант L = VaVa,

(3.5.20)

(3.5.21)

V

положив здесь и в (3.5.18), (3.5.19)

dv = dvs = ~^dvxv dbtf* ¦ g^v.

Прежде всего заметим, что

b(L dv) = 8vv-Db(duxv)-\- vv-6[Dv(duxv)].

(3.5.22)

(3.5.23)

(3.5.24)

Если теперь учесть, что

I D Sx^*

6(ln |dy I )= —6[ln(dy)2] = v%—-------------,

Z av

(3.5.25)

то мы получим для Svv выражение

dv

(3.5.26)

В свою очередь,

б Dv(duxv) = S (dvdux4 + Гіл dux»dvx*-j

(3.5.27)

80

после несложных преобразований приводится к виду

б Dv (duxv) = DvDudxv + RZ14, dux%dvx?bxv — Г^л, Dv (duxx) ба:*1. (3.5.28)

Поэтому вариация (3.5.23) принимает вид

би (Ldv) = dv ^vvDubx* + (guv — vv.v4)^(duxv) ба?»* j —

— DuSxv dv — { (dux») — jR.ovx Wvv duxx —

dv v dv dv

Dv Dv Dv Dv I

— V^V4------—(duxv)------~(duxv)——(Wvv) >gius6xadv. (3.5.29)

dv dv dv dv )

При этих вычислениях мы приняли во внимание переставимость знака дифференциала и операции варьирования и ковариантное постоянство метрического тензора. Подставляя полученный результат в вариацию действия,

б 5 Ldv= 5 Ь (Ldv), (3.5.30)

V V

мы можем отбросить «дивергенциальный» член, предполагая, как обычно, что вариации (и их первые производные по и) обращаются в нуль на границах области интегрирования. При этом, однако, в подынтегральном выражении сохранится один член, содержащий бяц под знаком дифференциала (цо и). Его бессмысленно выделять в «дивергенцию» (здесь: дифференциал) , так как интегрирование проводится по у, а не по и. Заметим, однако, что наши вариации бя^ зависят как от v, так и от и. Вместе с тем они произвольны, а равенство нулю вариации интеграла действия не должно зависеть от конкретного выбора обращающихся в нуль на границах; точно так же и уравнения, следующие из принципа экстремума действия при конкретных выборах ба^, выполняются универсально и не зависят от б#*4, что совершенно естественно. Итак, положим сначала, что вектор бя^ ковариантно постоянен вдоль направления и, т. е. DuSx* = 0. Тогда в б (Ldv) исчезает член — (Drvv I dv) Du8xvdv, и мы получаем (в силу произвольности во всех остальных отношениях бж^) уравнения
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 141 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed