Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Lmt = оо + г/S! ooj/(_)ap + 4" J/'oW +
16я Lr 2
у(+т М, о) + і + і$, гу(-м - »<+V«- JVytyt) 1:
(7.1.30)
вошли производные поля Шварцшильда, то требуется, кроме интеграла (7.1.10), учитывать также интеграл вида ^ (dx) который нетруд-
но взять, исходя из того, что
' X1 д I 1 \ 2 і с eiqr
— = 6»1----( — J=----------------\ ql----d3q. (7.1.31)
г3 дх» V г / (2я)2 J 4 q2 4 V '
Тогда элемент 5-матрицы можно записать в виде
С №М 6 (ро — Qo)
[ ФР+ЬыФ<, (dx) = —~ — X
<z° sin2y
Ke \ і і
1 2 Sm2 — J 6jxa6v0 — ®M<v6a0----- 2 (РаРрбрл? "4“
+ ^а^рбцг) ”| ea$enVl (7.1.32)
откуда следует дифференциальное сечение рассеяния гравитонов на поде Шварцшильда
к kM1 cos2 0
dag = ¦ : і .-dQg (7.1.33)
(16я)2 sin4 0/2 v ;
где произведено усреднение по поляризации входящих гравитонов и суммирование по поляризации рассеянных.
Указанные процессы были рассчитаны нами в 1958 г. Рассмотрим теперь рассчитанный Владимировым (1963а, б, в) эффект рассеяния векторных частиц с ненулевой массой покоя на малые углы. Здесь существенно, что векторное поле, как хорошо известно, не переходит просто в электромагнитное при стремлении к нулю массы покоя. В указанных предположениях Ю. С. Владимиров получил дифференциальное сечение
15* 243
Полученные сечения показывают естественное совпадение картин рассеяния всех частиц независимо от спина в» пределе малых углов (если взяты одинаковые массы покоя сравниваемых частиц). В этом пределе мы получаем величину дифференциального сечения для безмассовых частиц
AW2 dQ і .
“-&Г IT I' f7-1-35»
Сравнивая это сечение с обычным сечением рассеяния на сфере некоторого радиуса R1
do = ZnRdR, (7.1.36)
находим связь между радиусом указанной сферы и углом рассеяния в (7.1.35):
кЧМч(—) = (4 n)2d(i?2). (7.1.37)
\ 02/
Интегрируя, находим к2М
G=-T^r- (7.1.38)
AnR
Вспоминая соотношения (3.5.15) и (3.6.63), запишем здесь результат чисто классической теории Эйнштейна:
ь=Ьф_=>М(7139)
рс2 2пр 4яр
Если радиус взятой нами сферы интерпретировать теперь как прицельный параметр данного фотона относительно рассеивающего центра, то совпадение углов 0 и б означает, что квантовая теория непосредственно дает закон отклонения света в поле Солнца. Этого, собственно, и следовало ожидать. Такое сравнение, правда, в несколько иной форме, было проведено впервые Пийром (1957).
7.2. Превращение фотонов в гравитоны и обратно
Можно указать ряд эффектов, при которых фотоны и другие частицы превращаются в гравитоны (например, процесс обменного комптон-эффек-та, см. § 7.4), однако наиболее заметный вклад в образование гравитонов при обычных условиях дают, конечно, эффекты первого порядка теории возмущений. Законы сохранения допускают протекание лишь одного из этих эффектов — превращения фотонов в гравитоны (и обратно) в классическом электромагнитном поле. Тот факт, что берется классическое поле, позволяет сделать (теоретически) указанный эффект сколь угодно сильным; достаточно лишь взять соответствующую большую напряженность электромагнитного поля, либо увеличить до космических масштабов занимаемый им объем. В классической теории аналогичный эффект рассматривался Герценштейном.
Мы берем хорошо известный лагранжиан взаимодействия электромаг-йитного и гравитационного полей
L = ^FepFliv — (7.2.1)
и рассматриваем диаграмму на рис. 6. Разделение классического и квантового электромагнитного поля в (7.2.1) не вызывает затруднений взиду симметричного включения в этот лагранжиан тензора электромагнитного поля. Поэтому (имея в виду переход фотона в реальный гравитон, а не
Рис. 6. Диаграмма превращения фотона в гравитон (и обратно) в классических электромагнитных полях
наоборот) следует записать, учитывая равенство у = О для реальных гравитонов:
l(x) = A ^ac'v+WwV.
Нас интересует матричный элемент между начальным состоянием
Фда = аа (ч)Фуас и конечным состоянием Фра = ФуасП^« (Р)*
Для его вычисления следует учесть, наряду с (7.1.16),
[Ьа ) (P) , PM» (*)]- =--------------- е?а(р) .
.(+)
CiPax
(2я)%У2ро
Мы получим тогда
ФЬ(ж) Ф = e;aex°F**acc (q^1 — дЧрк)
ik
4 (2я) 3Ур0д0
или, на основании ф?ф = F6 (ро — q0), основную для наших вычислений величину к
(7.2.2)
(7.2.3)
(7.2.4)
(7.2.5)
(7.2.6)
(7.2.7)
F =
(Зрб^ — д»6рх)еат(р)e\a(q) ^ /класс(г)е^-Р>г dv.
4(2я)2д0 (7.2.8)
Чтобы взять квадрат модуля матричного элемента и подставить в выражение для дифференциального сечения, следует прежде упростить матричный элемент, конкретизируя характер рассматриваемого поля и направление движения первоначального пучка фотонов. Мы остановимся здесь на трех случаях: на классическом кулоновском поле, однородном статическом электрическом поле плоского конденсатора и однородном статическом магнитном ноле.
В первом случае матричный элемент принимает вид
F — 4(2я)2 ^ ^kjis^cc
(г) е*<ч-Р)г dvetj (р) ef (q),
(7.2.9)
245
где классическое поле равно
Fкласс (Г) = Ei (Г) = (7‘2Л0)
