Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мицкевич Н.В. -> "Физические поля в общей теории относительности" -> 103

Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.

Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности — М.: Наука, 1969. — 329 c.
Скачать (прямая ссылка): fizicheskiepolyavobsheyteorii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 141 >> Следующая


239*

Поэтому целесообразно представить метрику поля Шварцшильда в приближенном виде. Именно, вспоминая, что метрику (3.3.39) можно приближенно представить в виде

к = У2х7 (7.1.1)

MJc2,

Siiv ~ бM-v ^ Sv*1, (7.1.2)

8 яг

откуда

Mk

= _ -S0^0V (7.1.3)

4я г

S

у=— — . (7.1.4)

4яг

Здесь ІІЙГ — масса рассеивающего центра (последовательно квантовый вывод рассматриваемого классического эффекта как предельного случая будет дан в § 7.3).

В случае скалярного поля лагранжиан (6.6.28) дает следующую часть, •описывающую взаимодействие скалярных частиц с гравитацией:

Пользуясь выражениями для коммутаторов

?-грах«

[<p(_)(z), ф<+)(q)]- = чз; (7.1.6)

(2я)/гУ2д0

ш

[ф(-)(р), ф(+)(*)1_ = /Т- , (7.1.7)

(2я)/2У2р0

легко вычислить матричный элемент лагранжиана взаимодействия (7.1.5) между двумя одномезонными состояниями, характеризуемыми импульсами Pv и Амплитуды состояния в этих случаях строятся из амплитуды состояния вакуума:

Фд = q><+)(q)rfDvac, Фр+ = Ф-vac ф(-)(р) • (7.1.8)

Таким образом,

— JfL

Ш e^Pa-W^^0 2

Фр+ЬыФд ----------------------------==—. (7.1.9)

4(2я)4 г і/яьРо

Согласно методу S'-матрицы, это выражение должно быть проинтегрировано по всему пространству-времени. Заметим сначала, что

Г е^а *а 6 (ко)

) — (dx) = 2. (2я)*~у-, (7.1.10)

так что

5 Фр+Ьи^Фд (dx) = F(p, q) б (po — Po) =

Il2

Г----/7-2

Ш 2 1

32я2 Qo(Qo2‘— M-2) sin2 0/2

240

б (Po Qo) • (7.1.11)

Вспоминая (§ 6.9) общее выражение для сечения в подобном случае

da = (2n)2-^j|F(p,g)|2|p|p0dQ, (7.1.12)

где

dQ = sin QdcpdQ (7.1.13)

— элемент телесного угла, в который происходит рассеяние, мы получаем сечение рассеяния скалярных частиц в поле Шварцшильда:

,2 \ 2

kW2 2 \ dQ ,

ffec^ (16я)Л q2 / sin4 0/2 ’ ^7'1'1 *

В случае электромагнитного поля лагранжиан его взаимодействия с полем Шварцшильда можно записать, исходя из (6.6.29), в виде:

к2М ( 1 \

Lint = —— :( FoiFoi + -FikFik) :. (7.1.15)

16яг \ 2 I

Исходя из перестановочных соотношений

/_ч /.ч e~i(i^

[4’(*),<?* (q)]- = ——=^°(ч) (7.1.16)

2я y>i2q0

и

/ \ / I \ е~і Paxa

(Р),Л («)]- = —--=V(P) (1.1.17)

(2я) /гУ2р0

и соотношения (7.1.10), получаем матричный элемент:

г к2М б (Po — Qo)

J ф,+і*йфв (<?*) = х

J 16я2 4gosm20/2

(2д02ецт(P) е»а (q) cos — РіЯкЄкх(P) (q) ) (7.1.18)

и — далее — сечение рассеяния фотонов на поле Шварцшильда: dOem = j (2n)2\F(p, q) 12б(Po — qo)pddpodQp,

X

рО

или окончательно

тп в

4,” = Ti^ctgVa

(7.1.19)

(7.1.20)

[это сечение впервые получено Пийром (1957)].

При рассеянии фермионов на поле Шварцшильда член в лагранжиане

(6.6.30), содержащий производные 7-матриц, обращается в нуль, если взять эти матрицы в форме (3.3.6), (3.3.37), (3.3.38), что существенно упрощает расчеты. Тогда лагранжиан взаимодействия фермионных частиц с полем Шварцшильда в интересующем нас приближении приводится к виду

vw$L — _ — —

Ltot = Тд—:[ (tY>, 0 — 'ф, 0Y4) — СФуЧ, і — I5, iY1^)] • (7.1.21)

ІОЯГ ООО о

Приводя перестановочные соотношения к виду

Ia1Tu(P),^ (x)]+ = -^-e^v(^(p) (7.1.22)

16 Н, В. Мицкевич 241

bbf\x),a™ (д)]+ = _1^е-^“4-)0(д), (7.1.23)

нетрудно получить матричные элементы:

+ ІхМ е^Ра-Ч Jxa

OVLintOV = - (2я)® Х

X [г>(_)а (q) Y°y<+)T(р) i(po + Яо)— V^a(q)YkV^(J)) і{ph + Як)] (7.1.24)

о

S O^LintOV(Cb) = Х

X[2poYa6 — (Ph+ qk)v%b]vt)a'(V)Jbyt (P) = Fax (р, q)8 (р0~ Яо), (7Л.25) _хМ 16я

Квадрат модуля матричного элемента \F(p, q) |2 тогда будет равен

l^"'^ = (^|р'Кіп^/2-(2рГ~(Р> + >Х

X (2poVde+ (Pi + ']i)\ii'r)>7j~la {p)X

О о

X Vf+)a (q)i;6+)T (р)Ycf1Yed- (7.1.26)

О о

Если не исследовать фиксированных ориентацией спина и взять в качестве начального состояния смесь (усреднение по спину-), а в качестве конечного состояния — сумму по спину, мы получим квадрат модуля матричного элемента в виде шпура:

C2

^ = (4л)24ро21р14sin40/2 Х

X Sp[(2poY° — (Pb + ^Oya) (YvPv — т)Х

О OO

X(2poY° — (Pi + qi)Yl)(\^v.^m)l (7.1.27)

О OO

Раскрытие этого шпура не представляет затруднений и дает

Sp -.] = 32? m2qo2 + (4g2 + 3m2)g2cos2y] . (7.1.28)

отсюда сечение рассеяния фермионов на поле Шварцшильда будет равно Zc4M2 1 Г 0 те4 m2q2 / 0

-------rhC0S2- + r+4\i+3cOSr

qi sin4— (7.1.29)

Рассмотренные здесь эффекты были линейными; рассеяние же гравитонов на поле Шварцшильда — явно нелинейный эффект и уже требует квантования самого гравитационного поля. Поэтому входящие в лагран-

1 Или, как часто говорят, усреднение по поляризациям входящих частиц. 242

жиан гравитационного поля члены следует перегруппировать так, чтобы отделить сомножители, представляющие реальные гравитоны (квантованное поле), от классического поля Шварцшильда, на котором они рассеиваются. Такое выделение классического поля не вполне однозначно. Если считать, что классическое поле является лишь удобным способом для описания (в среднем) процессов поглощения и излучения виртуальных квантов, то в нормальном произведении, представляющем лагранжиан с кубическими по уnv членами, следует с самого начала отбросить все слагаемые типа у^у^у^ и у^у^у^ (произведения операторов одинаковых частотностей). Затем следует лишь вновь скомбинировать оставшиеся слагаемые так, чтобы симметричным образом разделить свободные гравитоны и классическое поле. Комбинирование членов без отбрасывания слагаемых одной частотности дает матричный элемент, отличающийся от получаемого указанным выше способом лишь на постоянный множитель (2/3), который с физической точки зрения не имеет смысла. Поэтому мы будем придерживаться первого подхода. Так как теперь в интересующую нас часть лагранжиана взаимодействия
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 141 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed