Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
dN = Tivdo (6.9.36)
частиц, а в случае (6.9.35) —
dN = JiiTi21 Vi — V21 do (6.9.37)
частиц (в лабораторной системе, когда одна из частиц покоится, получим
I Vi — V21 = Vi = I Pi I / рю), то сечения окажутся соответственно равны
da = |^(?,Р) I2Pofi (ро — go) dsg (6.9.38)
1 Приведенная форма определения дифференциального сечения рассеяния полностью эквивалентна обычной его форме, но более непосредственно отражает физический смысл понятия сечения рассеяния. Для удобства дадим здесь также обычную форму определения дифференциального сечения: дифференциальное сечение рассеяния
в некоторый телесный угол cLQ равно отношению числа частиц, рассеянных в этот угол за единицу времени, к числу частиц, проходящих за единицу времени через единицу площади поперечного сечения исходного пучка. Определение, приведенное в этой сноске, менее удобно, чем приведенное в тексте, так как в последнем его
проще распространить на случай превращений частиц в процессе столкновения (об-
щий случай квантовых переходов).
237
и
(2 я)2
do =
IF(qt,Pi) |26<4>( 2 P- S (6-9-39>
II(v!) Ivі V21 Так как
d3q = q2 sin 0dg d0 гіф = q2dqd?l (6.9.40)
и, вследствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом,.
2 = q2 т2^ (6.9.41)
справедливо равенство
gdg = (6.9.42)
нетрудно провести интегрирование в (6.9.38) по модулю импульса частиц конечного состояния. Мы получим тогда окончательное выражение для дифференциального сечения рассеяния (перехода) на внешнем (классическом) поле в зависимости от угла рассеяния *:
do = (2-я)21F(q,p) 12po2dQiq). (6.9.43)
В свою очередь, интегрирование по 3-импульсу одной из частиц конечного
состояния и по модулю импульса другой дает в случае (6.9.39), когда в начальном и конечном состояниях присутствует по две реальных частицы и в процессе не участвуют внешние поля, следующее выражение для дифференциального сечения:
I vi v21 11 + дЦ2о/dqio I
Следует помнить, что в каждом из этих выражений должны быть учтены соответствующие законы сохранения, выраженные в (6.9.38) и (6.9.39) в форме 6-функций. Производная энергии одной конечной частицы по энергии другой, стоящая в знаменателе (6.9.44), следует из правила интегрирования 6-функции, аргументом которой служит, в свою очередь, функция переменной интегрирования [см. (8.4.8)]. При этом ясно, что энергии начальных частиц не зависят от энергий конечных, но не наоборот.
Отдельные вычислительные детали и пояснения читатель найдет в параграфах следующего раздела 2.
1 Зависимость от угла (углов) отражена с помощью 4-мерных импульсов q и р, от которых зависит функция F.
2 Мы не будем касаться при этом многих работ, в которых вычислялись некоторые
эффекты с участием гравитонов как в теории Эйнштейна, так и в других теориях
тяготения.
7. КВАНТОВО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ
7.1. Отклонение луча света в гравитационном поле и другие эффекты этого типа
Рассмотрим теперь процессы рассеяния различных частиц (и среди них — самих гравитонов) на статическом сферически симметричном классическом гравитационном поле (поле Шварцшильда) (рис. 5). Один из. этих процессов хорошо известен: это — знаменитый эффект отклонения лучей света гравитационным полем Солнца (см. § 3.6), который мы выведем здесь из квантовых соображений. Несмотря на (формально) квантовый метод расчета, все эти эффекты по своей природе — классические, тем более, что в формулы, описывающие их, не входит в конечном итоге постоянная
Рис. 5. Рассеяние кванта на классическом поле Шварцшильда
Планка. Удобство применения квантовой теории здесь имеет своей причиной наиболее простое использование метода функции Грина в сочетании с методом последовательных приближений (теория возмущений) при расчете рассеяния в квантовой теории. Вместе с тем, различный спин разных частиц дает, как показывают эти расчеты, явно разные выражения для сечений рассеяния уже в классической области, что подтверждает ценность, классической (не квантовой) формулировки понятия спина в теории поля (теорема Нётер); здесь спин характеризуется, в частности, тензорным рангом потенциалов рассматриваемых полей. Напомним, что в классической теории гравитации эффект тйпа отклонения частиц (например, фотонов) гравитационным полем больших масс (Солнце) рассчитывается с помощью уравнения геодезической, совершенно игнорирующей спин и вообще внутреннюю структуру частицы; таким образом, полевой подход, несущий бо-чее богатую информацию, предпочтительнее.
За исключением случая рассеяния гравитонов на поле Шварцшильда здесь нет необходимости обращаться и к квантованию гравитации, так что использование классического гравитационного поля позволяет в принципе производить точный расчет классической части эффекта (первый порядок квантовой теории возмущений). Однако ввиду того, что в дальнейшем мы будем сравнивать наши выводы с известными расчетами в рамках классической теории Эйнштейна, и ввиду громоздкости точного подхода мы ограничимся здесь низшими членами (по гравитационной постоянной).