Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Однако, чтобы получить вероятность какого-либо процесса, необходимо взять Квадрат модуля матричного элемента. Это приводит к необходимости возводить в квадрат 6-функцию, что в прямом смысле, конечно, недопустимо, Поэтому считается, что в ходе предварительных вычислений везде фигурирует некоторая «сглаженная» функция, дающая лишь в пределе несобственную функцию Дирака (см. предельные переходы в § 8.4). Поэтому (без предельного перехода) возводя в квадрат «сглаженную» функцию
__ |-см (8.4.26), где следует иметь в виду, что рассматривается
6-функция, зависящая не от координаты пространства, а от компоненты импульса], получаем
, ln /I sin xq \2 xl sin2 xq х
І —-------“) =--------------— b (g); (6.9.19)
\ тс q 7 я я xq1 я
а так JmK в соответствующем фурье-представлении область пространственного интегрирования следует брать от —х до +я, целесообразно перейти к обозначению I = 2х, причем из (6.9.19) тогда следует
[б(?) 6(g). (6.9.20)
В 4-мерном случае это выражение принимает вид VT
[6(4)(g)]^^y-46W(g), (6.9.21)
где под произведением VT следует понимать пространственно-временную область, в которой проводится рассмотрение; ее размеры нужно в конце концов устремить к сх), но до этого такое же произведение появляется
и в знаменателе, так что лишней расходимости не возникает (ср. несколь-
ко иные рассуждения в монографии Боголюбова и Ширкова (1957), стр. 185—186). Итак, квадраты модулей соответственно для (6.9.17) и
(6.9.18) равны
VT / _ \
1ф{+5ф‘!2 = -(^1^12б(4)( Sp-Sp) (6.9.22)
235
Ф(.) = .. аї+)(р.)Фв&к. (6.9.25)
я
(ф^Ф,!2 = JL |/?|2б ( 2 Po-2 Po). (6.9.23)
TT V1 f
Дальнейший анализ достаточно отчетливо и компактно изложен в монографии Боголюбова и Ширкова (§ 22), так что нет нужды его повторять; мы приведем здесь лишь основные выводы с соответствующими комментариями.
Прежде всего укажем явно нормировку амплитуды состояния для случая s частиц (разной природы):
Ф<5) = (2я)3в/2Яо^ (Pl) . . . da^ (Рв)Фвак; (6.9.24)
если же в этом состоянии содержатся группы тождественных частиц (частиц одного рода), то
(2jt)3s/2
УЩ^Ї)
Здесь произведение факториалов
n(v!) = Vi!v2!... va! (6.9.26)
зависит от чисел частиц в каждой из этих групп (группы нумеруются как 1, 2,..., а).
Обозначим для удобства выражения (6.9.24) и (6.9.25) без первых множителей через
Фрі^і».PSGS = a^i^ (PO * * • 0/(5 $ (Ps)^вак* (6.9.27)
Тогда среднее число частиц, соответствующих конечному состоянию, получившемуся при эволюции состояния Ф(«}) и обозначаемому через Фг, равно 1 р <м-28> (произведение Ф^Нрг в знаменателе взято в целях нормировки). В начальном состоянии, согласно нормировке (6.9.25), на единицу объема приходится одна частица в каждом заданном начальном состоянии; в противном случае выражение (6.9.28) следует еще умножить на числа соответствующих частиц в единице объема. Вообще говоря, должен наблюдаться некоторый разброс частиц конечного состояния как по абсолютной величине, так и по направлению импульсов [с соблюдением законов сохранения, зафиксированных в 6-функциях (6.9.22) и (6.9.23)]. Поэтому при определении дифференциальных сечений или вероятностей перехода следует ставить вопрос о числе частиц, появившихся в конечном состоянии с импульсами в некоторых интервалах Л3ді, Л3д2,..., A3qr около значений Чи 42, •. •, «Ir. Поэтому полагая амплитуду конечного состояния равной
Ф, = (2л) 3^2 $ Фв1*,„.,гTr^1. • • &qr (6.9.29)
AQ
(область интегрирования AQ — совокупность интервалов, в которых лежат импульсы частиц конечного состояния), получаем
ф+ф = (2л) 3rA3^1... Д3дг, (6.9.30)
так что (6.9.28) при учете произвольного числа частиц в единице объема в начальном состоянии принимает вид
236
dN = m... и* \K^rrS^ptot...pact I2A3Si - - - A3gr. (6.9.31)
^Учитывая соотношения (6.9.22) и (6.9.23), мы получаем окончательно чис-
ло частиц, оказавшихся в конечном состоянии в указанных интервалах жмпульсов:
W = Jli... Щ- |f(gf> Pi) |2б«( S P - S g ) d?qi. •. d3qr,
f (6.9.32)
ікогда взаимодействие осуществляется лишь через виртуальные кванты полей, и
dN = щ.. ¦ ns W-\F{qt,Pi) |2б(^] Po— ^<lo)d3qi-..d3qr,
1 (6.9.33)
иогда переход вызывается действием внешнего (классического) статического поля.
Эти выражения принимают следующий вид в конкретных случаях. Случаю s = 1, г = 1 соответствует рассеяние или превращение на внешнем поле (§ 7.1, 7.2):
dN ==п (2л)21F (g, р) 126 (р0 — q0) d3q. (6.9.34)
Лри 5 = 2, г = 2 мы имеем рассеяние частицы на частице, аннигиляцию лары в два кванта излучения, комптон-эффект (§ 7.3, 7.4):
dN = П1"27^? 1 F{quPi) 12б<4)( S P “ S q)d3qid3q2. (6.9.35)
Дифференциальным сечением рассеяния (перехода) в данном интервале углов, определяемых импульсами рассеянных частиц, мы назовем теперь такую эффективную площадку, отнесенную к единице площади поперечного сечения исходного пучка, что число частиц, рассеянных с этой единичной площади в заданном выше интервале импульсов, равно числу всех частиц из пучка, попадающих за то Же время на эту эффективную площадку4. Так как в единицу времени на эту площадку do попадает в случае (6.9.34)
