Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
для электромагнитного поля —
АрДа;) lAv(V) = i&^Do (х — у) (6.9.11>
(здесь причинная функция Грина берется при m = 0); для фермионного* поля —
% (х) (у) = —iSab(x — y), (6.9.12).
°ь( )_ (2я)4 ^ { q) тг — q2 — is “ ’ (6'9 3)
или
Sfb (х) = ( т + ІГ ^ Dc (X); (6.9.14)
наконец, для гравитационного поля в формализме, близком к формализму Гупты —
у^(х)уаа(у) = (х — у). , (6.9.15)'
Теорему Вика можно в общем виде сформулировать как равенство T (: A1A2. . . Aa : х : В\В2. .. Bb:) =
= : Ai. . . AaBi • • • Bb: -f~ 2 : Ai. .. Ai.. . ^crB1.. . Bj . . . Bb: -Jr
1<і<а
1<і<Ь
+ S і Ai... Ai... Ak ... AaBi • • • Bj. . .Bi. . . Bb: -f-
tel
1<г,
Ki, Kb
233
^если b > а; в случае Ь < а это равенство изменится очевидным образом. При этом следует учитывать, что спаривания величин, обычно точно коммутирующих (или — в случае фермионных полей — точно антикоммутирующих) друг с другом, равны нулю.
При вычислениях эффективных сечений и вероятностей процессов нас интересуют матричные элементы матрицы рассеяния между заданными исходным и конечным состояниями. Амплитуды этих состояний конструируются из амплитуды состояния вакуума ФВак путем действия на нее операторов рождения тех частиц и в тех состояниях, которые задаются для начального состояния системы. Подобным же образом конструируются сопряженные амплитуды состояния, где берутся операторы уничтожения соответствующих частиц. Конечно, эти амплитуды состояния нуждаются в нормировке, для чего мы будем делить матричные элементы на квадраты амплитуд состояния. Тогда, перебрасывая операторы уничтожения, входящие в состав рассматриваемой 5-матрицы, последовательно через операторы рождения в конструкции начальной амплитуды состояния (с помощью известных перестановочных соотношений) до тех пор, пока они не подействуют на амплитуду состояния вакуума и не дадут, таким образом, нуль, и поступая подобным же образом с операторами рождения в 5-матрице, но перебрасывая их влево вплоть до сопряженной амплитуды конечного состояния, мы получаем в результате с-число, которое и называется матричным элементом матрицы рассеяния. Ясно, что в разложении членов 5-матрицы по теореме Вика нас могут интересовать лишь те из них, которые содержат в точности одинаковое число операторов уничтожения (соответствующих полей) и операторов рождения этих же полей в начальной амплитуде состояния; аналогичное утверждение справедливо для соответствия между числом (и родом) операторов рождения в 5-матрице и операторов уничтожения в сопряженной амплитуде конечного состояния. В противном случае мы получим матричные элементы, (равные нулю. Это правило удобнее выразить еще другими словами. Если мы вычисляем матричный элемент для процесса, в котором начальное состояние содержит некоторые конкретные свободные кванты полей, то среди членов 5-матрицы, заслуживающих рассмотрения, следует сохранить лишь члены, содержащие операторы уничтожения всех этих частиц (и не более!), т. е. следует «стереть» начальное состояние. Затем из числа этих членов нужно оставить лишь члены, содержащие операторы рождения всех частиц, входящих в интересующее нас конечное состояние, т. е. следует «создать» это конечное состояние. Наконец, хронологические спаривания однозначно соответствуют внутренним, виртуальным линиям тех диаграмм, которые мы исследуем. Порядок матрицы рассеяния (равный числу перемножаемых под знаком интеграла лагранжианов) дает число узлов, в которых сходятся (как реальные, так и виртуальные) линии частиц на диаграмме, так что каждый лагранжиан соответствует своему узлу. В свою очередь, число потенциалов полей (волновых функций) в каждом данном лагранжиане определяет число линий (как реальных, так и виртуальных частиц), а также характер входящих в данный узел частиц, которым эти линии соответствуют.
При таких сложных лагранжианах взаимодействия, которые характерны для гравитационного случая, формулировка правил, аналогичных общеизвестным правилам Фейнмана квантовой электродинамики, оказывается бесполезной, и читателю предлагается пользоваться непосредственно
формой лагранжианов взаимодействия рассматриваемых полей и теоремой Вика. Тем самым он освобождается от необходимости специально анализировать чередование во времени отдельных узлов диаграмм, хотя рассмотрение самих диаграмм несомненно благоприятствует наглядному анализу исследуемых процессов. Некоторые практические детали вычисления матричных элементов будут приведены в следующем разделе в связи с расчетом эффектов.
Нетрудно убедиться, что в общем случае при наличии в начальном и конечном состояниях лишь свободных частиц (но не классических полей) матричный элемент 5-матрицы имеет вид
ot+soh = F({pU {ph)*>w/ р-?jp \ . (б-9-17)
'' і f
где индекс і обозначает начальное, а индекс / — конечное состояние (и соответствующие импульсы). Если же процесс (например, рассеяние) происходит на внешнем (классическом) поле, то матричный элемент становится равным
Ф,+5Фі = F{{p}i, {p>f)6 ( 2 Po — (6.9.18)
І і
когда это внешнее поле является статическим (оно может тогда брать на себя долю импульса частиц, оставляя без изменения их энергию).
